فهم تقديم الأعداد الحقيقية وتطبيق القواعد على أمثلة وتمارين متدرجة.
1. الفهم والقواعد الأساسية
الأعداد الطبيعية ثم الصحيحة ثم الجذرية مجموعات متداخلة. العدد الجذري يكتب a/b حيث a وb صحيحان وb ≠ 0. بعض الأعداد مثل √2 لا تقبل هذه الكتابة وتسمى غير جذرية.
مجموعة الأعداد الحقيقية تضم الأعداد الجذرية وغير الجذرية، ونرمز إليها بـ ℝ. لكل عدد حقيقي موضع على مستقيم مدرّج، والعدد الواقع إلى اليمين أكبر.
إذا كان a ≥ 0 فإن √a هو العدد غير السالب الذي مربعه a. مثلًا √25 = 5. أما العدد السالب فلا يملك جذرًا مربعًا حقيقيًا.
2. أمثلة محلولة
مثال 1
العدد −3 = −3/1 صحيح وجذري وحقيقي. والعدد 0.75 = 3/4 جذري وحقيقي لكنه ليس صحيحًا.
مثال 2
بما أن 1.4² = 1.96 و1.5² = 2.25، فإن 1.4 < √2 < 1.5. هذا تأطير وليس مساواة تقريبية تامة.
3. طريقة حل التمارين
- حدد المعطيات والمطلوب، وارسم شكلًا أو اكتب التعبير المناسب عند الحاجة.
- اختر الخاصية التي تتحقق شروطها، وبيّن خطوات الحساب أو البرهان بالترتيب.
- راجع النتيجة بالتعويض أو بالتقدير، واكتب الوحدة المناسبة في مسائل القياس.
4. أخطاء شائعة
لا تخلط بين العدد الجذري والجذر المربع: √9 = 3 جذري، لكن √2 غير جذري.
5. تمارين مع التصحيح
حاول حل التمارين قبل فتح التصحيح، ثم قارن خطواتك بالحل.
1. صنف −7/2: هل هو صحيح أم جذري أم حقيقي؟
إظهار التصحيح
يساوي −3.5، وهو جذري وحقيقي وليس عددًا صحيحًا.
2. احسب √81 و√0.25.
إظهار التصحيح
نجد √81 = 9 و√0.25 = 0.5 لأن مربعيهما يساويان العددين المطلوبين.
3. أطر √10 بين عددين صحيحين متتاليين.
إظهار التصحيح
لدينا 9 < 10 < 16، إذن 3 < √10 < 4.