فهم مبرهنة طاليس وعكسها وتطبيق القواعد على أمثلة وتمارين متدرجة.
خطاطة: أي اتجاه من مبرهنة طاليس أستعمل؟
- حدد المعطياتاستقامية النقط وترتيبها
- التوازي معلومطاليس ← مساواة النسب ← حساب طول
- التوازي مطلوبتحقق من النسب والترتيب ← عكس طاليس
حافظ على التناظر نفسه في كل نسبة.
1. الفهم والقواعد الأساسية
في المثلث ABC، إذا كانت M على [AB] وN على [AC] وكان MN ∥ BC، فإن AM/AB = AN/AC = MN/BC. يجب احترام تناظر الرؤوس عند كتابة النسب.
عكس طاليس في هذا الوضع: إذا كانت M وN على الضلعين المذكورين وتحققت AM/AB = AN/AC فإن MN ∥ BC.
تستعمل المبرهنة أيضًا في أوضاع الامتداد أو الفراشة بعد التحقق من الاستقامية وترتيب النقط. في الحساب نختار النسب التي تحتوي طولًا مجهولًا واحدًا.
2. أمثلة محلولة
مثال 1
إذا AB = 10 وAC = 15 وAM = 4 مع التوازي، فإن AN/15 = 4/10، وبالتالي AN = 6. وإذا BC = 12 فإن MN = 4.8.
مثال 2
إذا AM = 3 وAB = 9 وAN = 4 وAC = 12 والنقط على الضلعين، فإن النسبتين تساويان 1/3، فيثبت التوازي بعكس طاليس.
3. طريقة حل التمارين
- حدد المعطيات والمطلوب، وارسم شكلًا أو اكتب التعبير المناسب عند الحاجة.
- اختر الخاصية التي تتحقق شروطها، وبيّن خطوات الحساب أو البرهان بالترتيب.
- راجع النتيجة بالتعويض أو بالتقدير، واكتب الوحدة المناسبة في مسائل القياس.
4. أخطاء شائعة
لا يكفي تساوي نسب أطوال عشوائية. يجب إثبات استقامية النقط والتحقق من ترتيبها ومن تناظر المقامات والبسوط.
5. تمارين مع التصحيح
حاول حل التمارين قبل فتح التصحيح، ثم قارن خطواتك بالحل.
1. في وضع طاليس AM/AB = 2/5 وAC = 20. احسب AN.
إظهار التصحيح
AN = 20 × 2/5 = 8.
2. إذا MN = 6 ونسبة التصغير 3/4، احسب BC.
إظهار التصحيح
MN/BC = 3/4، ومنه BC = 6 × 4/3 = 8.
3. النقط على الضلعين وAM/AB = 4/10 وAN/AC = 3/8. هل المستقيمان متوازيان؟
إظهار التصحيح
لا، لأن 4/10 = 0.4 و3/8 = 0.375 مختلفتان؛ لو كانا متوازيين لتساوت النسبتان.
العودة إلى فهرس رياضيات الثالثة إعدادي ←
6. طاليس في وضع الفراشة: الترتيب قبل الحساب
ليكن المستقيمان (AB) و(CD) متقاطعين في O، حيث تقع A وB على جهتين متقابلتين من O، وتقع C وD كذلك على جهتين متقابلتين. إذا كان (AC) موازيًا لـ(BD)، فإن الأطوال المتناظرة تحقق:
OA/OB = OC/OD = AC/BD
نقارن المثلث OAC بالمثلث OBD. الزوجان المتناظران هما A مع B، وC مع D، بينما O رأس مشترك. الأطوال هنا موجبة؛ لا نضيف إشارة سالبة لأن النقط على جهتين متقابلتين.
مثال محلول
في الوضع السابق، إذا كان OA = 4 cm, OB = 6 cm, OC = 3 cm, AC = 2 cm، نحسب OD وBD بعد ذكر التوازي والاستقامية:
4/6 = 3/OD، ومنه OD = 6 × 3 / 4 = 4.5 cm. وكذلك 4/6 = 2/BD، فنجد BD = 3 cm.
7. لماذا لا يكفي تساوي النسب لإثبات التوازي؟
في العكس يجب التحقق من الاستقامية ومن ترتيب النقط المتناظرة. إذا كانت A وB على الشعاع نفسه الخارج من O، بينما C وD على شعاعين متعاكسين، فلا نستنتج التوازي من تساوي نسب الأطوال وحده. أحد الزوجين يقع في الجهة نفسها والآخر لا؛ فشرط الترتيب غير متحقق.
5 تمارين إضافية مصححة
4. في وضع الفراشة مع التوازي، OA = 5 وOB = 10 وOC = 4. احسب OD.
إظهار التصحيح
5/10 = 4/OD، لذلك OD = 8، بنفس وحدة الأطوال المعطاة.
5. في الوضع نفسه، AC = 3 وBD = 9 وOA = 2. احسب OB.
إظهار التصحيح
OA/OB = AC/BD = 1/3، ومنه OB = 6.
6. O بين A وB وبين C وD. إذا OA = 3 وOB = 6 وOC = 5 وOD = 10، أثبت توازي AC وBD.
إظهار التصحيح
النقط على مستقيمين متقاطعين وترتيبها متناظر. لدينا 3/6 = 5/10 = 1/2. إذن بعكس طاليس (AC) ∥ (BD).
7. OA = 3 وOB = 6 وOC = 4 وOD = 9 في وضع الفراشة. هل AC وBD متوازيان؟
إظهار التصحيح
لا؛ 3 × 9 = 27 ≠ 24 = 6 × 4، فالنسبتان مختلفتان. لو تحقق التوازي لفرضت مبرهنة طاليس تساويهما.
8. إذا عرفت فقط OA/OB = OC/OD، فما الذي ينقص البرهان بالعكس؟
إظهار التصحيح
يجب التأكد من استقامية O وA وB، واستقامية O وC وD، واختلاف المستقيمين، وترتيب النقط المتناظرة. النسب وحدها لا تكفي.