المنصفات والارتفاعات في مثلث: التمييز بين منصف الزاوية وارتفاع المثلث وإنشاؤهما.
1. الفهم والقواعد الأساسية
منصف الزاوية نصف مستقيم أصله رأسها ويقسمها إلى زاويتين متساويتين. في المثلث توجد ثلاثة منصفات داخلية، وتتلاقى في نقطة تبعد المسافة نفسها عن أضلاعه، وهي مركز الدائرة المماسة للأضلاع من الداخل.
ارتفاع المثلث مستقيم يمر برأس ويكون عموديًا على حامل الضلع المقابل. توجد ثلاثة ارتفاعات تتلاقى في نقطة واحدة. قد يقع جزء الارتفاع خارج المثلث إذا كانت زاوية منه منفرجة؛ لذلك نمدد حامل الضلع عند الحاجة.
لا يتطابق الارتفاع والمنصف دائمًا. في مثلث متساوي الساقين، المستقيم الواصل بين رأسه ومنتصف القاعدة يجمع خصائص الارتفاع والمنصف والوسيط وواسط القاعدة.
2. أمثلة محلولة خطوة بخطوة
مثال 1
إذا كانت زاوية A تساوي 72° فإن منصفها يقسمها إلى زاويتين قياس كل منهما 36°.
مثال 2
في مثلث ABC نرسم من A عمودًا على (BC)؛ إذا كانت قدم العمود H فإن AH ⟂ BC. طول AH هو الارتفاع الموافق للقاعدة BC، ويستعمل في المساحة S = BC × AH ÷ 2.
3. طريقة حل التمارين
- حدد المطلوب: تقسيم زاوية أم إقامة عمود من رأس.
- للمنصف استعمل إنشاء البركار أو قسمة قياس الزاوية بالمنقلة. وللارتفاع استعمل الكوس على حامل الضلع المقابل.
- ميز الإنشاءين بعلامة الزاويتين المتساويتين للمنصف، ومربع الزاوية القائمة للارتفاع.
4. أخطاء شائعة
ليس كل مستقيم من رأس إلى الضلع المقابل ارتفاعًا؛ شرطه التعامد. وإذا وقع الارتفاع خارج المثلث فذلك لا يجعله خاطئًا. المسافة إلى مستقيم تقاس عموديًا عليه.
5. تمارين مع التصحيح
اكتب محاولتك أولًا، ثم افتح التصحيح وقارن خطوات الحل، لا النتيجة وحدها.
1. زاوية 84° قسمت بمنصفها. ما قياس كل جزء؟
إظهار التصحيح
84 ÷ 2 = 42°.
2. هل المستقيم الواصل من رأس إلى منتصف الضلع المقابل ارتفاع دائمًا؟
إظهار التصحيح
لا؛ هو وسيط، ولا يكون ارتفاعًا إلا إذا تحقق التعامد.
3. مثلث قاعدته 10 cm وارتفاعه الموافق 6 cm. احسب مساحته.
إظهار التصحيح
S = 10 × 6 ÷ 2 = 30 cm².