الدائرة: تمييز عناصر الدائرة والقرص وحساب المحيط والمساحة.
1. الفهم والقواعد الأساسية
الدائرة مجموعة نقط المستوى التي تبعد مسافة ثابتة r عن مركز O. تسمى r نصف القطر. القرص يضم الدائرة وما داخلها. الوتر قطعة طرفاها على الدائرة، والقطر وتر يمر بالمركز وطوله ضعف نصف القطر.
محيط الدائرة C = 2πr = πd، حيث d القطر. مساحة القرص S = πr². العدد π يقارب 3.14 عند طلب نتيجة تقريبية، ويستحسن إبقاؤه في الجواب الدقيق أولًا.
لتحديد موقع نقطة M نقارن OM بنصف القطر: المساواة تعني أنها على الدائرة، والأصغر تعني داخل القرص، والأكبر تعني خارجه. لا تكفي صورة الرسم للحكم إذا أعطيت أطوال دقيقة.
2. أمثلة محلولة خطوة بخطوة
مثال 1
لدائرة نصف قطرها 5 cm يكون قطرها 10 cm ومحيطها 10π cm، أي تقريبًا 31.4 cm. مساحة القرص 25π cm²، أي تقريبًا 78.5 cm².
مثال 2
إذا كان نصف القطر 4 cm وOM = 3 cm، فإن M داخل القرص ولا تنتمي إلى الدائرة نفسها. ولإنشاء الدائرة نثبت إبرة البركار في المركز ونحافظ على الفتحة.
3. طريقة حل التمارين
- ميز بين المعطى r والمعطى d، واستخرج نصف القطر إذا أعطي القطر.
- اختر المحيط لقياس طول الحد، والمساحة لقياس السطح الداخلي.
- اكتب النتيجة الدقيقة بدلالة π ثم التقريب والوحدة المطلوبة.
4. أخطاء شائعة
الخلط بين نصف القطر والقطر يضاعف الخطأ، ويكون أثره أكبر في المساحة بسبب التربيع. لا تكتب cm² للمحيط أو cm للمساحة.
5. تمارين مع التصحيح
اكتب محاولتك أولًا، ثم افتح التصحيح وقارن خطوات الحل، لا النتيجة وحدها.
1. دائرة قطرها 12 cm. ما نصف قطرها؟
إظهار التصحيح
r = 12÷2 = 6 cm.
2. احسب محيط دائرة نصف قطرها 3 cm.
إظهار التصحيح
C = 6π cm، وتقريبًا 18.84 cm باستعمال π ≈ 3.14.
3. احسب مساحة قرص نصف قطره 2 cm.
إظهار التصحيح
S = 4π cm²، وتقريبًا 12.56 cm².
العودة إلى جميع دروس رياضيات الأولى إعدادي ←
6. مماس الدائرة عند نقطة منها
ليكن O مركز دائرة وA نقطة عليها. المماس عند A هو المستقيم الذي يلتقي الدائرة في هذه النقطة وحدها. الخاصية الأساسية: المماس عند A عمودي على نصف القطر OA. ولإنشائه نرسم المستقيم (OA)، ثم نقيم عليه عمودًا يمر بالنقطة A باستعمال الكوس. يجب أن تكون A على الدائرة؛ فلا نطبق هذا الإنشاء على نقطة داخلها أو خارجها.
7. كيف أبرر إنشاء المماس؟
لا يكفي أن يبدو المستقيم ملامسًا للدائرة في الرسم. نكتب: A تنتمي إلى الدائرة، والمستقيم (d) يمر من A ويعامد (OA)، إذن (d) مماس للدائرة في A. وبالعكس، إذا علمنا أن (d) مماس عند A، استنتجنا أن الزاوية بينه وبين OA قائمة. مثال: إذا كان T على المماس ومختلفًا عن A، فإن ∠OAT = 90°.
8. الدائرة المحيطة بمثلث
لإنشاء دائرة تمر برؤوس مثلث غير منعدم ABC، ننشئ واسطي ضلعين مثل [AB] و[AC]. نقطة تقاطعهما O تحقق OA = OB وOA = OC، ومنه OA = OB = OC. نرسم الدائرة مركزها O ونصف قطرها OA؛ فتمر بالرؤوس الثلاثة. قد يقع المركز داخل المثلث أو خارجه أو على أحد أضلاعه، بحسب طبيعة المثلث.
9. الدائرة الداخلية للمثلث
ننشىء منصفي زاويتين داخليتين للمثلث؛ تقاطعهما I هو مركز الدائرة الداخلية. نرسم من I عمودًا على أحد الأضلاع، ولتكن H قدمه. الطول IH هو نصف القطر، لأن I متساوية البعد عن حوامل الأضلاع الثلاثة. نرسم الدائرة مركزها I ونصف قطرها IH. قياس المسافة إلى الضلع يكون عموديًا عليه، وليس إلى رأس المثلث.
10. أميز بين الإنشاءات
الدائرة المحيطة تمر بالرؤوس ويحدد مركزها تقاطع الواسطات. الدائرة الداخلية تمس الأضلاع ويحدد مركزها تقاطع المنصفات. أما مماس دائرة معلومة عند نقطة فيحدد بتعامده مع نصف القطر عند تلك النقطة. اختيار الإنشاء يأتي من المطلوب: المرور برؤوس، أو التماس بأضلاع، أو التماس عند نقطة معينة.
11. تطبيقات إضافية مع التصحيح
1. A نقطة على دائرة مركزها O، و(d) يمر من A وعمودي على OA. ما طبيعته؟
إظهار التصحيح
هو مماس للدائرة عند A، لأن شرطي المرور بنقطة الدائرة والتعامد مع نصف القطر متحققان.
2. O تقاطع واسطي [AB] و[AC]، وOA = 4 cm. احسب OB وOC.
إظهار التصحيح
بحسب خاصية الواسط: OB = OA = 4 cm وOC = OA = 4 cm. إذن دائرة المركز O ونصف القطر 4 cm تمر بالرؤوس الثلاثة.
3. هل أستعمل المسافة من مركز الدائرة الداخلية إلى أحد الرؤوس نصف قطر؟
إظهار التصحيح
لا. نصف القطر هو المسافة العمودية من المركز إلى أحد الأضلاع.
4. مستقيم يمر بالنقطة A على الدائرة لكنه غير عمودي على OA. هل هو المماس عند A؟
إظهار التصحيح
لا؛ مماس الدائرة عند A يكون عموديًا على نصف القطر OA. المرور بنقطة الدائرة وحده غير كاف.