فهم الإحصاء: الحصيص والتردد والمتوسط وتطبيق القواعد على أمثلة وتمارين متدرجة.
خطاطة تحليل سلسلة إحصائية
- أنظمأرتب القيم وأحسب الحصيص الإجمالي والمتراكم.
- أحسبأحسب التردد والمتوسط باستعمال الحصيصات.
- أفسرأقارن المؤشرات وتوزيع القيم في سياق السؤال.
1. الفهم والقواعد الأساسية
الحصيص هو عدد مرات ظهور قيمة في سلسلة إحصائية، والحصيص الإجمالي هو مجموع الحصيصات. تنظيم القيم في جدول يساعد على قراءة النتائج دون تكرار القائمة كاملة.
تردد قيمة يساوي حصيصها مقسومًا على الحصيص الإجمالي. مجموع الترددات يساوي 1، ومجموع الترددات المئوية يساوي 100%.
المتوسط الحسابي يساوي مجموع جداءات كل قيمة في حصيصها مقسومًا على الحصيص الإجمالي. المنوال هو القيمة الأكثر تكرارًا، ويمكن تمثيل الحصيصات بأعمدة أو الترددات بقطاع دائري.
2. أمثلة محلولة
مثال 1
في السلسلة 8, 10, 10, 12, 15 نجد الحصيص الإجمالي 5، وحصيص 10 يساوي 2، وتردده 2/5 = 40%.
مثال 2
متوسط السلسلة السابقة (8 + 2 × 10 + 12 + 15)/5 = 55/5 = 11. المنوال 10. القطاع الموافق للقيمة 10 زاويته 0.4 × 360° = 144°.
3. طريقة حل التمارين
- حدد المعطيات والمطلوب، وارسم شكلًا أو اكتب التعبير المناسب عند الحاجة.
- اختر الخاصية التي تتحقق شروطها، وبيّن خطوات الحساب أو البرهان بالترتيب.
- راجع النتيجة بالتعويض أو بالتقدير، واكتب الوحدة المناسبة في مسائل القياس.
4. أخطاء شائعة
عند وجود حصيصات مختلفة لا تجمع القيم المختلفة وتقسم على عددها فقط؛ يجب ترجيح كل قيمة بحصيصها.
5. تمارين مع التصحيح
حاول حل التمارين قبل فتح التصحيح، ثم قارن خطواتك بالحل.
1. القيم 2, 4, 6 حصيصاتها 3, 2, 5. أوجد الإجمالي.
إظهار التصحيح
N = 3 + 2 + 5 = 10.
2. في الجدول نفسه أوجد تردد القيمة 6.
إظهار التصحيح
5/10 = 0.5 = 50%.
3. احسب متوسط الجدول السابق.
إظهار التصحيح
(2 × 3 + 4 × 2 + 6 × 5)/10 = 44/10 = 4.4.
العودة إلى فهرس رياضيات الثانية إعدادي ←
6. الحصيص المتراكم والتردد المتراكم
بعد ترتيب القيم تصاعديًا، نحصل على الحصيص المتراكم الصاعد بجمع حصيص القيمة مع حصيصات القيم الأصغر منها. التردد المتراكم يساوي هذا المجموع مقسومًا على الحصيص الإجمالي.
| القيمة | الحصيص | المتراكم الصاعد | التردد المتراكم |
|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 3 | 30% |
| 4 | 2 | 5 | 50% |
| 6 | 5 | 10 | 100% |
عند القيمة 4، الحصيص المتراكم 5: توجد 5 مشاهدات قيمتها أصغر من أو تساوي 4. أما حصيص القيمة 4 وحدها فهو 2. آخر حصيص متراكم يساوي دائمًا الحصيص الإجمالي، وآخر تردد متراكم يساوي 100%.
عند الحاجة إلى المتراكم النازل نجمع حصيص القيمة مع حصيصات القيم الأكبر منها. في المثال السابق نحصل عند القيم 2 و4 و6 على 10 و7 و5 على الترتيب. عند القيمة 4، توجد 7 مشاهدات قيمتها أكبر من أو تساوي 4.
قراءة مبيان المتراكم
نضع القيم المرتبة على المحور الأفقي والمتراكم الصاعد على العمودي؛ نمثل النقط (2، 3) و(4، 5) و(6، 10). لا ينخفض المتراكم الصاعد عندما ننتقل إلى قيمة أكبر. لا نخلط هذا المبيان مع أعمدة الحصيصات المنفردة التي قد ترتفع أو تنخفض.
المتوسط ومعنى النتيجة
متوسط المثال 4.4. قد لا ينتمي المتوسط إلى القيم المسجلة، ولا يعني أن إحدى المشاهدات تساوي 4.4. نحافظ على وحدة المتغير إن وجدت، ونؤجل التقريب إلى النتيجة النهائية.
7. تمارين المتراكم مع التصحيح
4. ما نسبة القيم الأصغر من أو تساوي 4؟
إظهار التصحيح
5 ÷ 10 × 100 = 50%، وهي التردد المتراكم الصاعد عند 4.
5. ما نسبة القيم الأكبر من 4؟
إظهار التصحيح
القيمة الوحيدة الأكبر من 4 هنا هي 6؛ حصيصها 5، ونسبتها 50%. يمكن أيضًا حساب 100% − 50%.
6. هل نسبة القيم الأكبر من أو تساوي 4 تساوي الجواب السابق؟
إظهار التصحيح
لا، نضيف حصيص 4: (2 + 5) ÷ 10 × 100 = 70%. الفرق بين «أكبر من» و«أكبر من أو يساوي» مهم.
7. الحصيصات المتراكمة لقيم مرتبة هي 2، 7، 12. استخرج الحصيصات المنفردة.
إظهار التصحيح
الأول 2، والثاني 7 − 2 = 5، والثالث 12 − 7 = 5. الإجمالي 12.
8. اقترح تلميذ متراكمًا صاعدًا: 3، 8، 6. هل هو صحيح؟
إظهار التصحيح
غير صحيح؛ انخفض من 8 إلى 6، بينما ينتج المتراكم الصاعد عن إضافة حصيصات غير سالبة. نراجع ترتيب القيم والحساب.