فهم الهندسة الفضائية: المساحات والحجوم وتطبيق القواعد على أمثلة وتمارين متدرجة.
1. الفهم والقواعد الأساسية
حجم الموشور والأسطوانة هو مساحة القاعدة مضروبة في الارتفاع. حجم الهرم والمخروط ثلث هذا الجداء. للأسطوانة V = πr²h وللمخروط V = πr²h/3.
الكرة سطح نقاط تبعد المسافة r نفسها عن المركز، والكتلة الكروية تشمل الداخل. مساحة سطح الكرة S = 4πr² وحجم الكتلة V = 4πr³/3.
عند تكبير مجسم بنسبة k > 0 تضرب الأطوال في k والمساحات في k² والحجوم في k³. مقطع كرة بمستوى يبعد d < r عن المركز دائرة نصف قطرها √(r² − d²).
2. أمثلة محلولة
مثال 1
كرة نصف قطرها 3 cm: مساحتها 36π cm² وحجم كتلتها 36π cm³؛ تشابه العددين لا يعني تساوي الوحدتين.
مثال 2
مجسم حجمه 20 cm³ كُبّر بنسبة 2، فيصبح حجمه 2³ × 20 = 160 cm³.
3. طريقة حل التمارين
- حدد المعطيات والمطلوب، وارسم شكلًا أو اكتب التعبير المناسب عند الحاجة.
- اختر الخاصية التي تتحقق شروطها، وبيّن خطوات الحساب أو البرهان بالترتيب.
- راجع النتيجة بالتعويض أو بالتقدير، واكتب الوحدة المناسبة في مسائل القياس.
4. أخطاء شائعة
لا تخلط بين المساحة والحجم، ولا بين معامل تكبير الطول ومعامل تكبير الحجم. تحقق من الوحدات قبل التعويض.
5. تمارين مع التصحيح
حاول حل التمارين قبل فتح التصحيح، ثم قارن خطواتك بالحل.
1. مخروط نصف قطره 3 cm وارتفاعه 5 cm. احسب حجمه.
إظهار التصحيح
V = π × 9 × 5/3 = 15π cm³.
2. كرة نصف قطرها 5 cm قطعها مستوى يبعد 3 cm عن المركز. احسب نصف قطر المقطع.
إظهار التصحيح
√(25 − 9) = 4 cm.
3. صُغّر مجسم بنسبة 1/2 وكان حجمه 64 cm³. ما الحجم الجديد؟
إظهار التصحيح
(1/2)3 × 64 = 8 cm³.
العودة إلى فهرس رياضيات الثالثة إعدادي ←
6. مستقيم عمودي على مستوى
نتصور المستوى باستعمال وجه من أوجه متوازي المستطيلات. لإثبات أن مستقيمًا عمودي على مستوى، يكفي أن يكون عموديًا على مستقيمين متقاطعين من هذا المستوى عند نقطة التقاطع. التعامد مع مستقيم واحد فقط لا يكفي. في متوازي المستطيلات، الحافة العمودية على وجه القاعدة تمثل اتجاه الارتفاع، والمسافة بين وجهي القاعدتين تقاس وفق هذا الاتجاه.
7. حساب القطر الداخلي بفيثاغورس
إذا كانت أبعاد متوازي المستطيلات a وb وh، فإن قطر قاعدته d يحقق d² = a² + b². القطر الداخلي D والقطر d والارتفاع h يشكلون مثلثًا قائمًا، ومنه D² = d² + h² = a² + b² + h². نطبق فيثاغورس مرتين، ولا نجمع الأطوال مباشرة. مثال: أبعاد 3 cm و4 cm و12 cm تعطي d = 5 cm ثم D = √(25 + 144) = 13 cm.
8. مقطع هرم بمستوى موازٍ للقاعدة
إذا قطعنا هرمًا ذا رأس S بمستوى موازٍ لقاعدته، فإن الجزء القريب من S هرم مصغر مشابه للأصلي. إذا كان H قدم ارتفاع الهرم وH′ نقطة تقاطع الارتفاع مع مستوى القطع، فإن k = SH′/SH هو معامل التصغير، بشرط وقوع المقطع بين الرأس والقاعدة. تضرب أطوال الأضلاع المتناظرة في k، ومساحة القاعدة في k²، والحجم في k³.
9. مثال كامل على هرم مبتور
هرم قاعدته مربع ضلعه 6 cm وارتفاعه 9 cm. حجمه V = (6² × 9)/3 = 108 cm³. قطع بمستوى موازٍ للقاعدة على مسافة 3 cm من الرأس، مقاسة على الارتفاع. إذن k = 3/9 = 1/3. ضلع المقطع 6 × 1/3 = 2 cm، ومساحته 4 cm². حجم الهرم الصغير 108 × (1/3)³ = 4 cm³. حجم الجزء المبتور الباقي 108 − 4 = 104 cm³.
10. قراءة المعطى قبل اختيار المعامل
إذا أعطيت المسافة من القاعدة إلى مستوى القطع بدل المسافة من الرأس، نطرحها أولًا من الارتفاع الكلي. مثلًا إذا كان ارتفاع الهرم 10 cm والمقطع يبعد 4 cm عن القاعدة، فإن ارتفاع الهرم الصغير 6 cm ومعامله 6/10. لا نستعمل 4/10 للجزء القريب من الرأس. جميع الارتفاعات المذكورة تقاس عموديًا على القاعدة.
11. تطبيقات إضافية مع التصحيح
1. متوازي مستطيلات أبعاده 2 cm و3 cm و6 cm. احسب قطره الداخلي.
إظهار التصحيح
D = √(2² + 3² + 6²) = √49 = 7 cm.
2. هرم حجمه 216 cm³، قطع موازٍ لقاعدته بمعامل تصغير 1/2. احسب حجم الجزء القريب من الرأس.
إظهار التصحيح
V′ = 216 × (1/2)³ = 27 cm³.
3. مساحة قاعدة هرم 80 cm²، ومعامل تصغير مقطعه 1/2. احسب مساحة المقطع.
إظهار التصحيح
A′ = 80 × (1/2)² = 20 cm². لا نضرب المساحة في 1/2 بل في مربعه.
4. هرم ارتفاعه 12 cm، يبعد مستوى مقطعه 4 cm عن الرأس. احسب معامل التصغير وحجم الجزء الصغير إذا كان الحجم الكلي 270 cm³.
إظهار التصحيح
k = 4/12 = 1/3. الحجم الصغير 270 × (1/3)³ = 10 cm³، وحجم الجزء المبتور 270 − 10 = 260 cm³.