إيجاد قيمة مجهولة انطلاقًا من المتوسط الحسابي — الأولى إعدادي
تطبيق في الإحصاء والمعادلات: كيف نسترجع قيمة ناقصة عندما نعرف متوسط القيم؟ ستتعلم حساب المجموع المطلوب ثم اختبار النتيجة، بشرط أن تكون القيم ذات المعامل نفسه.
1. فهم معطيات المسألة
المتوسط الحسابي البسيط يساوي مجموع القيم مقسومًا على عددها. إذا كانت لدينا أربع نقط، نحسب النقطة المجهولة ضمن العدد 4؛ لا نحذفها من عدد القيم لمجرد أنها غير معروفة. نرمز إلى المجهول بالحرف x، ونحدد المتوسط وعدد القيم قبل أي عملية.
2. الرجوع من المتوسط إلى المجموع
نضرب المتوسط في عدد القيم فنحصل على المجموع الذي يجب بلوغه. بعد ذلك نجمع القيم المعروفة ونطرح مجموعها من المجموع المطلوب. إذن: القيمة المجهولة = المتوسط × عدد القيم − مجموع القيم المعروفة. هذه الطريقة تخص متوسطًا بسيطًا؛ أما النقط ذات المعاملات المختلفة فتحتاج مجموعًا موزونًا.
3. اختبار النتيجة وحدودها
نعوض المجهول بالقيمة المحسوبة ونعيد حساب المتوسط. في نقط من 0 إلى 20 يجب أيضًا أن تقع النتيجة في هذا المجال. إذا حصلنا على 24 فلا نقربها إلى 20، بل نستنتج أن المتوسط المطلوب غير ممكن بالمعطيات المحددة. انتبه إلى عدم الخلط بين المتوسط ومجموع النقط.
خطاطة تلخيصية
تطبيق محلول
نقط ثلاث فروض متساوية المعامل هي 12 و14 وx، ومتوسطها 15. المجموع المطلوب هو 15 × 3 = 45، ومجموع النقط المعروفة 26. إذن x = 45 − 26 = 19. للتحقق: (12 + 14 + 19) ÷ 3 = 15؛ والنقطة 19 مقبولة لأنها لا تتجاوز 20.
6 تمارين مصححة
حاول الإجابة قبل فتح التصحيح.
التمرين 1
متوسط 8 و12 وx هو 11. أوجد x.
إظهار التصحيح
المجموع المطلوب 11 × 3 = 33. إذن x = 33 − 20 = 13. والتحقق: 33 ÷ 3 = 11.
التمرين 2
متوسط أربع قيم هو 10؛ ثلاث منها 7 و9 و12. أوجد الرابعة.
إظهار التصحيح
المجموع 40، والمعروف 28، فتكون القيمة الناقصة 12.
التمرين 3
متوسط نقطتين هو 13 وإحداهما 16. ما الأخرى؟
إظهار التصحيح
مجموعهما 26، فتساوي الأخرى 26 − 16 = 10.
التمرين 4
قال تلميذ: عند وجود مجهول بين أربع قيم أضرب المتوسط في 3. صحح.
إظهار التصحيح
يجب الضرب في 4 لأن المجهول قيمة ضمن المجموعة؛ معرفة القيمة أو جهلها لا يغير العدد.
التمرين 5
نقطتان 10 و11 من 20. هل يمكن بلوغ متوسط 16 بعد فرض ثالث من 20؟
إظهار التصحيح
المطلوب للفرض الثالث هو 16 × 3 − 21 = 27. هذا غير ممكن لأن أقصى نقطة 20.
التمرين 6
هل تطبق الطريقة نفسها مباشرة على نقط ذات معاملات 1 و2 و3؟
إظهار التصحيح
لا. نحسب المتوسط الموزون باستعمال النقط مضروبة في معاملاتها ومجموع المعاملات.