نشر جداء مجموعين والتحقق بالتعويض — الثانية إعدادي
ورشة في الحساب الحرفي لتعلم نشر جداء مجموعين، وتجميع الحدود المتشابهة، وكشف أخطاء الإشارة بالتعويض العددي.
1. من التوزيع البسيط إلى المزدوج
في الجداء (a + b)(c + d) نضرب كل حد من القوس الأول في كل حد من القوس الثاني. نحصل على أربعة جداءات: ac + ad + bc + bd. يمكن تنظيم العمل في جدول ذهني بصفين وعمودين حتى لا ينسى أي جداء. لا نضرب الحدود الأولى وحدها ثم الحدود الأخيرة وحدها.
2. تجميع الحدود المتشابهة
بعد النشر نجمع الحدود التي تتضمن الحرف نفسه بالقوة نفسها. مثلًا 3x و−2x حدان متشابهان، أما x² وx فلا يجمعان في حد واحد. نكتب النتيجة عادة بدءًا بحد الدرجة الأكبر، ثم حد x، ثم العدد الثابت. عند وجود إشارة سالبة نعتبرها جزءًا من الحد المضروب.
3. التحقق بالتعويض
نعوض x بعدد بسيط في العبارة الأصلية وفي العبارة المنشورة. اختلاف النتيجتين يثبت وجود خطأ. أما تساويهما عند قيمة واحدة فلا يثبت صحة النشر لجميع الأعداد؛ لذلك يبقى البرهان هو تطبيق خاصية التوزيع بطريقة صحيحة. التعويض وسيلة مراقبة مساعدة.
خطاطة تلخيصية
تطبيق محلول
ننشر (2x + 3)(x − 4): نحصل على 2x² − 8x + 3x − 12، أي 2x² − 5x − 12. عند x = 1 تعطي العبارة الأصلية 5 × (−3) = −15، وتعطي المنشورة 2 − 5 − 12 = −15.
6 تمارين مصححة
حاول الإجابة قبل فتح التصحيح.
التمرين 1
انشر (x + 2)(x + 5).
إظهار التصحيح
x² + 5x + 2x + 10 = x² + 7x + 10.
التمرين 2
انشر (x − 3)(x + 1).
إظهار التصحيح
x² + x − 3x − 3 = x² − 2x − 3.
التمرين 3
انشر (2x − 1)(3x + 4).
إظهار التصحيح
6x² + 8x − 3x − 4 = 6x² + 5x − 4.
التمرين 4
لماذا (x + 2)(x + 3) لا يساوي x² + 6؟
إظهار التصحيح
لأن جداءَي x × 3 و2 × x أُهملا؛ النتيجة x² + 5x + 6.
التمرين 5
تحقق من النتيجة السابقة عند x = 2.
إظهار التصحيح
الأصلية: 4 × 5 = 20. الصحيحة: 4 + 10 + 6 = 20، والخاطئة: 4 + 6 = 10.
التمرين 6
هل تطابق عبارتين عند x = 0 كاف لإثبات تساويهما؟
إظهار التصحيح
لا؛ x² و2x مثلًا يساويان صفرًا عند 0، لكنهما يختلفان عند x = 1.