المجموعات العددية ℕ وℤ و𝔻 وℚ وℝ — الجذع المشترك العلمي

1. الأعداد الطبيعية والصحيحة النسبية

المجموعة ℕ تضم الأعداد 0 و1 و2 و3 وما يليها. والمجموعة ℤ تضم هذه الأعداد ومعاكساتها، مثل −1 و−2 و−3. كل عدد طبيعي عدد صحيح نسبي، لكن العكس غير صحيح: −4 ينتمي إلى ℤ ولا ينتمي إلى ℕ. نرمز للانتماء بالرمز ∈، ولعدم الانتماء بالرمز ∉. الرمز ℕ* يدل على الأعداد الطبيعية غير المنعدمة. السالب والموجب صفتان للإشارة، وليسا مجموعتين بديلتين عن هذا التصنيف.

2. الأعداد العشرية النسبية 𝔻

العدد العشري النسبي هو عدد يمكن كتابته على الصورة a/10ⁿ حيث a عدد صحيح وn عدد طبيعي. لذلك له كتابة عشرية منتهية. مثلًا −2.75=−275/100 ينتمي إلى 𝔻، وكذلك كل عدد صحيح لأن مقامه يمكن أن يكون1. لا نقصد بالأعداد العشرية فقط الأعداد التي تظهر فيها فاصلة؛ فالعدد7 عشري أيضًا، إذ يمكن كتابته7.0.

3. الأعداد الجذرية ℚ

نسمي عددًا جذريًا كل عدد يمكن كتابته a/b حيث a وb صحيحان وb غير منعدم. مثلًا 1/3 جذري ولكنه ليس عشريًا، لأن كتابته العشرية غير منتهية ودورية. أما 3/8 فيساوي0.375 وهو عشري وجذري معًا. لتحديد هل كسر جذري عشري، نختزله أولًا: إذا كان مقامه الموجب المختزل لا يحتوي إلا على العاملين الأوليين2 و5 فهو عشري. وجود عامل آخر يعني أنه غير عشري.

4. الأعداد الحقيقية ℝ والجذور

تضم ℝ جميع الأعداد الجذرية والأعداد غير الجذرية. من غير الجذرية √2 وπ؛ لا يمكن كتابتهما ككسر عددين صحيحين. لا يكفي ظهور رمز الجذر للحكم بأن العدد غير جذري: √49=7 طبيعي، بينما √7 غير جذري. في مجموعة الأعداد الحقيقية يعرف √a عندما a≥0، وهو الجذر غير السالب. لذلك √(−3)²=3، وبصفة عامة √(x²)=|x|.

5. الاحتواء وأصغر مجموعة

العلاقات الأساسية هي ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ. الاحتواء علاقة بين مجموعتين، أما الانتماء فعلاقة بين عدد ومجموعة. نكتب 2∈ℕ وℕ⊂ℤ. عندما يطلب أصغر مجموعة من هذه السلسلة نبدأ بالطبيعية ثم نتدرج. أصغر مجموعة للعدد−5 هيℤ، وللعدد0.2 هي𝔻، وللعدد2/7 هيℚ، وللعدد√3 هيℝ.

6. العمليات والكتابات المتكافئة

لا تصنف العدد من مظهره قبل تبسيطه: √36/3=2 طبيعي، و12/8=3/2=1.5 عشري. القسمة على0 غير معرفة، فلا تعطي عددًا حقيقيًا. مجموع عددين جذريين وجداؤهما جذريان، وقسمتهما جذرية إذا لم ينعدم المقسوم عليه. أما مجموع عددين غير جذريين فقد يكون جذريًا: √2+(−√2)=0. مثال واحد مضاد يكفي لنفي عبارة تقول إن الخاصية صحيحة دائمًا.

خطاطة تلخيصية

مثال محلول خطوة بخطوة

6 تمارين مصححة

حاول الحل أولًا، ثم افتح التصحيح للمقارنة.

التمرين 1

صنف الأعداد 0 و−8 و2.5 و1/7 و√5 في أصغر مجموعة من السلسلة.

التمرين 2

هل 21/60 عدد عشري؟ علل.

التمرين 3

هل 7/12 عدد عشري؟

التمرين 4

صحح: −4∈ℕ، وℤ∈ℚ.

التمرين 5

احسب √64 و√((−6)²)، ثم صنف النتيجتين.

التمرين 6

هل جداء عددين غير جذريين غير جذري دائمًا؟