توازن جسم صلب — الجذع المشترك العلمي

1. جرد القوى الخارجية

نحدد الجسم أو المجموعة المدروسة ثم التأثيرات الخارجية فقط. عند دراسة جسم فوق سطح نجرد الثقل وتأثير السطح وأي شد أو قوة إضافية. نمثل الثقل عند مركز الثقل، ونميز تأثير التماس عن التأثير عن بعد. القوة التي يؤثر بها الجسم على السطح ليست قوة مطبقة على الجسم نفسه؛ لا نخلط زوج التأثير والتأثير المتبادل مع قوتين تتوازنان على جسم واحد. ندرس السكون بالنسبة إلى المرجع الأرضي الذي نعده غاليليًا تقريبًا.

2. التوازن تحت تأثير ثلاث قوى غير متوازية

إذا كان جسم صلب في توازن تحت تأثير ثلاث قوى غير متوازية، فإن حواملها تقع في مستوى واحد وتتلاقى في نقطة واحدة، ومجموعها المتجهي منعدم: F⃗₁+F⃗₂+F⃗₃=0⃗. التلاقي وحده لا يكفي؛ لا بد من الشرط المتجهي. عند تمثيل المتجهات تباعًا وفق سلم موحد نحصل على مثلث مغلق. إذا رسمنا الحوامل فتلاقى اثنان في نقطة، وجب أن يمر حامل القوة الثالثة من النقطة نفسها في حالة التوازن المفترضة.

3. الحساب بالإسقاط وتأثير السطح

في معلم متعامد نستعمل ΣFₓ=0 وΣFᵧ=0 لحساب الشدات، بعد تحديد اتجاه المحورين. على سطح أملس يكون تأثير السطح عموديًا عليه. وعند وجود احتكاك نحلل تأثيره إلى مركبة عمودية N ومركبة مماسية f، تعاكس اتجاه الانزلاق المحتمل في التوازن. ليس كل تأثير تماس عموديًا؛ ذلك صحيح عند إهمال الاحتكاك. لا نكتب قيمة الاحتكاك المماسية مساوية لقيمتها القصوى تلقائيًا ما لم تكن حالة الانزلاق الوشيك معطاة.

4. عزم قوة بالنسبة إلى محور ثابت

تقيس قيمة عزم قوة ميلها إلى تدوير الجسم حول محور. في الوضعيات المستوية، إذا كان حامل القوة في مستوى عمودي على المحور، يكون M=±F×d، حيث d أقصر مسافة عمودية من المحور إلى حامل القوة، ووحدتها المتر، ووحدة العزم N·m. نختار منحى دوران موجبًا ثم نعطي العزم إشارته بحسب أثر القوة. إذا مر حامل القوة بالمحور انعدم ذراعها وعزمها. الذراع ليس دائمًا المسافة من المحور إلى نقطة تطبيق القوة؛ يتساويان عندما تكون القوة عمودية على تلك المسافة.

5. مبرهنة العزوم وشرط التوازن

عندما يكون جسم قابل للدوران حول محور ثابت في توازن، يكون المجموع الجبري لعزوم القوى الخارجية بالنسبة إلى المحور منعدمًا: ΣM=0. يجب احتساب كل عزم مؤثر، بما فيه عزم الثقل إن لم يمر حامله بالمحور. تأثير المحور الذي يمر حامله منه لا يولد عزمًا حوله في النموذج المثالي. في التوازن الكامل للجسم تكون محصلة جميع القوى منعدمة أيضًا، مع إدراج رد فعل المحور؛ وقد نستعمل معادلة العزوم وحدها لحساب مجهول لأن رد الفعل لا يظهر فيها.

6. الرافعة ومزدوجة القوى

في رافعة مثالية تؤثر قوتان تولدان عزمين متعاكسين، ونهمل عزم ثقلها أو يمر حامله بالمحور. يعطي التوازن F₁d₁=F₂d₂، لذلك يمكن لقوة أصغر أن توازن قوة أكبر باستعمال ذراع أطول. أما مزدوجة القوى فهي قوتان متوازيتان متساويتان ومتعاكستان ومختلفتا الحامل؛ محصلتهما منعدمة لكن عزمهما غير منعدم، وشدة عزم المزدوجة F×d حيث d المسافة بين الحاملين. هذا يوضح لماذا لا يكفي انعدام المحصلة وحده لتوازن جسم صلب.

خطاطة تلخيصية

مثال محلول خطوة بخطوة

6 تمارين مصححة

حاول الحل أولًا، ثم افتح التصحيح للمقارنة.

التمرين 1

هل يكفي تلاقي حوامل ثلاث قوى غير متوازية لإثبات التوازن؟

التمرين 2

قوتان متعامدتان شدتهما 3 N و4 N. احسب شدة القوة الثالثة اللازمة لمعادلة محصلتهما عند نقطة واحدة.

التمرين 3

قوة 15 N ذراعها العمودي 20 cm. احسب مقدار العزم.

التمرين 4

قوة 50 N يمر حاملها بمحور الدوران. ما عزمها؟

التمرين 5

رافعة مثالية: 40 N على ذراع 0.10 m، وقوة F على ذراع 0.40 m تولد العزم المعاكس. احسب F.

التمرين 6

مزدوجة تتكون من قوتين شدتهما 8 N والمسافة بين حامليهما 0.25 m. احسب محصلتها ومقدار عزمها.