الحساب المتجهي في المستوى — الجذع المشترك العلمي

1. المتجهة وتساوي المتجهات

تمثل المتجهة AB⃗ انتقالًا من A إلى B، وتتميز بالحامل الاتجاهي والمنحى والطول. تتساوى متجهتان غير منعدمتين عندما يكون لهما الاتجاه نفسه والمنحى نفسه والطول نفسه، ولو اختلفت نقطتا انطلاقهما. المتجهة AA⃗=0⃗ منعدمة، وBA⃗=−AB⃗. لا نخلط المساواة AB=CD بين طولين مع المساواة AB⃗=CD⃗ بين متجهتين؛ تساوي الطولين وحده لا يحدد الاتجاه ولا المنحى.

2. علاقة شال وجمع المتجهات

لكل ثلاث نقط A وB وC: AB⃗+BC⃗=AC⃗. نتحرك من A إلى B ثم من B إلى C، فنحصل على الانتقال المباشر من A إلى C. نجعل نهاية المتجهة الأولى بداية الثانية بترجمة ممثل مناسب دون تغيير المتجهة. الجمع تبادلي وتجميعي، وu⃗+(−u⃗)=0⃗. إذا انطلقت متجهتان AB⃗ وAD⃗ من A، فإن مجموعهما قطر متوازي الأضلاع ABCD: AB⃗+AD⃗=AC⃗.

3. ضرب متجهة في عدد حقيقي

إذا كان k موجبًا فإن ku⃗ لها اتجاه ومنحى u⃗ وطول يساوي k مرة طولها. إذا كان k سالبًا ينعكس المنحى ويضرب الطول في |k|. وإذا كان k=0 أو u⃗ منعدمة فالنتيجة منعدمة. نستعمل القواعد k(u⃗+v⃗)=ku⃗+kv⃗ و(k+h)u⃗=ku⃗+hu⃗. مثال: 2(u⃗−3v⃗)+v⃗=2u⃗−5v⃗. الضرب هنا في عدد، وليس جداءً بين متجهتين.

4. الارتباط الخطي والاستقامية والتوازي

متجهتان مرتبطتان خطيًا إذا كانت إحداهما مضاعفًا عدديًا للأخرى، مع التعامل مع المتجهة المنعدمة على حدة عند استعمال النسب. إذا كان u⃗≠0⃗ نبحث عن k بحيث v⃗=ku⃗. عندما A≠B تكون A وB وC مستقيمية إذا وفقط إذا وجدت قيمة k تحقق AC⃗=kAB⃗. ولإثبات توازي المستقيمين (AB) و(CD)، مع اختلاف نقطتي كل مستقيم، نثبت ارتباط متجهتيهما. التوازي هنا قد يشمل الانطباق إذا لم نثبت أن المستقيمين مختلفان.

5. منتصف قطعة وعلاقة مفيدة

تكون I منتصف [AB] إذا وفقط إذا AI⃗=IB⃗، وهو ما يكافئ IA⃗+IB⃗=0⃗ أو AI⃗=(1/2)AB⃗. لأي نقطة M نحصل باستعمال شال على MA⃗+MB⃗=2MI⃗. بالفعل، نكتب كل متجهة بالمرور عبر I، ثم يختفي مجموع IA⃗+IB⃗. هذه العلاقة تختصر حسابات كثيرة وتسمح بإنشاء نقطة أو إثبات أنها منتصف قطعة.

6. طريقة إثبات متجهي

نختار متجهتين مرجعيتين مناسبتين من الشكل، ثم نستعمل شال لكتابة المتجهات المطلوبة بدلالتهما. نوزع المعاملات ونجمع الحدود المتشابهة دون تبديل ترتيب حروف المتجهة عشوائيًا. للوصول إلى استقامية نبحث عن مضاعف عددي؛ ولمنتصف قطعة نبحث عن نصف متجهة أو مجموع منعدم؛ ولمتوازي أضلاع نبحث عن تساوي متجهتي ضلعين متقابلين في المنحى الصحيح. الرسم يساعد على التخمين، لكن البرهان يعتمد على العلاقات المعطاة.

خطاطة تلخيصية

مثال محلول خطوة بخطوة

6 تمارين مصححة

حاول الحل أولًا، ثم افتح التصحيح للمقارنة.

التمرين 1

اختزل AB⃗+BC⃗+CD⃗.

التمرين 2

اختزل 3u⃗−2(u⃗−v⃗)+4v⃗.

التمرين 3

إذا كان A≠B وAM⃗=−2AB⃗، فحدد موضع M بالنسبة إلى A وB.

التمرين 4

I منتصف [AB]. اختزل MA⃗+MB⃗−2MI⃗.

التمرين 5

ABCD متوازي أضلاع. اكتب AC⃗ بدلالة AB⃗ وAD⃗.

التمرين 6

A وB مختلفتان، وAM⃗=(1/3)AB⃗ وAN⃗=(2/3)AB⃗. أثبت أن M منتصف [AN].