فهم الترتيب والعمليات وتطبيق القواعد على أمثلة وتمارين متدرجة.
1. الفهم والقواعد الأساسية
لمقارنة عددين حقيقيين يمكن دراسة إشارة فرقهما: إذا كان a − b > 0 فإن a > b، وإذا كان الفرق صفرًا فالعددان متساويان.
إضافة العدد نفسه إلى طرفي متراجحة تحفظ الترتيب. الضرب أو القسمة في عدد موجب يحفظان اتجاهها، وفي عدد سالب يعكسانه.
إذا كان a < b وc < d فيمكن الجمع طرفًا بطرف: a + c < b + d. ولضرب تأطيرين بهذه الطريقة يجب مراعاة إشارات الأعداد؛ في الحالة الموجبة 0 < a < x < b و0 < c < y < d نحصل على ac < xy < bd.
2. أمثلة محلولة
مثال 1
من 2 < x < 5 نستنتج 5 < x + 3 < 8. وبالضرب في −2 نعكس الاتجاه ثم نرتب: −10 < −2x < −4.
مثال 2
إذا كان 2 < x < 3 و4 < y < 6 فإن 6 < x + y < 9، وبإيجابية الحدود نجد 8 < xy < 18.
3. طريقة حل التمارين
- حدد المعطيات والمطلوب، وارسم شكلًا أو اكتب التعبير المناسب عند الحاجة.
- اختر الخاصية التي تتحقق شروطها، وبيّن خطوات الحساب أو البرهان بالترتيب.
- راجع النتيجة بالتعويض أو بالتقدير، واكتب الوحدة المناسبة في مسائل القياس.
4. أخطاء شائعة
لا تضرب تأطيرات تتضمن أعدادًا سالبة بالطريقة نفسها دون تحليل الإشارات، ولا تنس عكس المتراجحة عند الضرب في سالب.
5. تمارين مع التصحيح
حاول حل التمارين قبل فتح التصحيح، ثم قارن خطواتك بالحل.
1. قارن −3/4 و−2/3.
إظهار التصحيح
نكتب −3/4 = −9/12 و−2/3 = −8/12، إذن −3/4 < −2/3.
2. إذا كان 1 < x < 4 فأطر 3x − 2.
إظهار التصحيح
نضرب في 3 ثم نطرح 2، فنجد 1 < 3x − 2 < 10.
3. إذا كان −2 < x < 3 فأطر −x + 1.
إظهار التصحيح
بتغيير الإشارة −3 < −x < 2، ثم بإضافة 1 نجد −2 < −x + 1 < 3.