العمليات على الأعداد الكسرية: جمع الكسور وطرحها وضربها وقسمتها مع تبسيط النتائج.
1. الفهم والقواعد الأساسية
لجمع كسرين أو طرحهما نوحد المقامين، ثم نجمع البسطين أو نطرحهما ونحتفظ بالمقام المشترك. أما الضرب فنضرب البسطين فيما بينهما والمقامين فيما بينهما، وقد نختزل عوامل مشتركة قبل الحساب.
لقسمة عدد على كسر غير منعدم نضربه في مقلوب ذلك الكسر: (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c)، حيث المقامات غير منعدمة وc ≠ 0. مقلوب 3/5 هو 5/3 لأن جداءهما 1.
تطبق أسبقية العمليات على الكسور أيضًا. وينبغي التمييز بين جزء من كمية، مثل ثلاثة أرباع 20، وبين إضافة مقدار إلى الكسر؛ فكلمة من في هذا السياق تعني الضرب.
2. أمثلة محلولة خطوة بخطوة
مثال 1
2/3 + 1/4 = 8/12 + 3/12 = 11/12. و5/6 − 1/3 = 5/6 − 2/6 = 3/6 = 1/2.
مثال 2
4/7 × 21/8: نختزل 21 مع 7، و4 مع 8، فنحصل على 3/2. والاختزال هنا بين عوامل في جداء، وليس بين حدود جمع.
مثال 3
3/5 ÷ 9/10 = 3/5 × 10/9 = 2/3. وثلاثة أرباع 20 تساوي 3/4 × 20 = 15.
3. طريقة حل التمارين
- حدد نوع العملية؛ لا تطبق قاعدة الضرب على الجمع.
- في الجمع والطرح اختر مقامًا مشتركًا، وفي القسمة اقلب المقسوم عليه فقط.
- اختزل النتيجة، ثم قارنها بتقدير تقريبي للتأكد من معقوليتها.
4. أخطاء شائعة
العبارة 1/2 + 1/3 = 2/5 خاطئة؛ الصحيح 5/6. ولا يجوز اختزال 2 مع 2 في بسط ومقام يحتويان جمعًا قبل تحليل التعبير إلى عوامل.
5. تمارين مع التصحيح
اكتب محاولتك أولًا، ثم افتح التصحيح وقارن خطوات الحل، لا النتيجة وحدها.
1. احسب 3/4 + 1/8.
إظهار التصحيح
3/4 = 6/8، إذن 6/8 + 1/8 = 7/8.
2. احسب 5/6 × 9/10.
إظهار التصحيح
45/60 = 3/4، ويمكن اختزال العوامل قبل الضرب.
3. شربت عائلة 2/5 من قارورة سعتها 2 لتر. كم شربت وكم بقي؟
إظهار التصحيح
شربت 2/5 × 2 = 4/5 = 0.8 لتر، وبقي 2 − 0.8 = 1.2 لتر.