فهم المثلث القائم الزاوية والدائرة وتطبيق القواعد على أمثلة وتمارين متدرجة.
1. الفهم والقواعد الأساسية
في مثلث قائم الزاوية، مركز الدائرة المحيطة هو منتصف الوتر، ونصف قطرها يساوي نصف طول الوتر. إذا كان ABC قائمًا في A وO منتصف [BC] فإن OA = OB = OC = BC/2.
عكس الخاصية: إذا كانت A نقطة على دائرة قطرها [BC] ومختلفة عن B وC فإن المثلث ABC قائم في A.
في مثلث قائم في A تربط مبرهنة فيثاغورس الأطوال بالعلاقة BC² = AB² + AC². ولزاوية حادة مثل B يكون جيب التمام cos B = AB/BC، أي المجاور على الوتر.
2. أمثلة محلولة
مثال 1
إذا كان الوتر BC = 10 cm، فإن منتصفه O يبعد عن رؤوس المثلث القائم مسافة 5 cm، وبالتالي طول المتوسط AO = 5 cm.
مثال 2
إذا كان AB = 6 cm وAC = 8 cm والمثلث قائمًا في A، فإن BC² = 36 + 64 = 100، ومنه BC = 10 cm وcos B = 6/10 = 0.6.
3. طريقة حل التمارين
- حدد المعطيات والمطلوب، وارسم شكلًا أو اكتب التعبير المناسب عند الحاجة.
- اختر الخاصية التي تتحقق شروطها، وبيّن خطوات الحساب أو البرهان بالترتيب.
- راجع النتيجة بالتعويض أو بالتقدير، واكتب الوحدة المناسبة في مسائل القياس.
4. أخطاء شائعة
يجب أن تكون القطعة قطرًا للدائرة حتى نستنتج الزاوية القائمة. لا تكفي عبارة «ثلاث نقاط على دائرة» وحدها.
5. تمارين مع التصحيح
حاول حل التمارين قبل فتح التصحيح، ثم قارن خطواتك بالحل.
1. دائرة قطرها 8 cm، وA نقطة عليها خارج طرفي القطر. ما طبيعة المثلث؟
إظهار التصحيح
المثلث الذي رؤوسه A وطرفا القطر قائم عند A. المسافة من A إلى مركز الدائرة 4 cm.
2. مثلث قائم وتره 13 cm وأحد ضلعيه القائمين 5 cm. احسب الآخر.
إظهار التصحيح
مربعه 13² − 5² = 169 − 25 = 144، فطوله 12 cm.
3. مثلث قائم في A، حيث AB = 9 cm وBC = 15 cm. احسب cos B.
إظهار التصحيح
BC هو الوتر، إذن cos B = AB/BC = 9/15 = 0.6.