فهم المستقيمات الهامة في مثلث وتطبيق القواعد على أمثلة وتمارين متدرجة.
1. الفهم والقواعد الأساسية
الوسيط يصل رأس المثلث بمنتصف الضلع المقابل. تتلاقى المتوسطات في مركز الثقل، الذي يقسم كل وسيط بنسبة 2 إلى 1 من جهة الرأس: AG = 2GM إذا كان M منتصف BC.
الارتفاع يمر برأس ويعامد حامل الضلع المقابل. والمنصف يقسم زاوية الرأس إلى زاويتين متساويتين. والواسط يعامد ضلعًا في منتصفه ولا يلزم أن يمر بالرأس المقابل.
واسطات الأضلاع تتلاقى في مركز الدائرة المحيطة بالمثلث، ومنصفات زواياه في مركز الدائرة الداخلية. يحدد نوع المستقيم الخاصية التي يجوز استعمالها، ولا تتطابق هذه المراكز دائمًا.
2. أمثلة محلولة
مثال 1
إذا كان طول الوسيط AM يساوي 9 cm، فـ AG = 6 cm وGM = 3 cm.
مثال 2
إذا كان O تقاطع واسطي AB وAC، فإنه يبعد المسافة نفسها عن A وB وC، فيصلح مركزًا للدائرة المارة بالرؤوس الثلاثة.
3. طريقة حل التمارين
- حدد المعطيات والمطلوب، وارسم شكلًا أو اكتب التعبير المناسب عند الحاجة.
- اختر الخاصية التي تتحقق شروطها، وبيّن خطوات الحساب أو البرهان بالترتيب.
- راجع النتيجة بالتعويض أو بالتقدير، واكتب الوحدة المناسبة في مسائل القياس.
4. أخطاء شائعة
مركز الثقل ليس دائمًا مركز الدائرة المحيطة. وإذا قطع مستقيم ضلعًا في منتصفه فهو وسيط فقط عندما يمر بالرأس المقابل؛ ولا يصبح ارتفاعًا إلا بشرط التعامد.
5. تمارين مع التصحيح
حاول حل التمارين قبل فتح التصحيح، ثم قارن خطواتك بالحل.
1. وسيط طوله 12 cm. احسب المسافتين من مركز الثقل إلى الرأس وإلى منتصف الضلع.
إظهار التصحيح
من الرأس 8 cm، وإلى المنتصف 4 cm.
2. أي مستقيم يقسم زاوية إلى قسمين متساويين؟
إظهار التصحيح
منصف الزاوية.
3. ما الخاصية المشتركة لنقط واسط ضلع؟
إظهار التصحيح
كل نقطة منه متساوية البعد عن طرفي الضلع.