فهم الإحصاء: المتوسط والوسيط والتردد وتطبيق القواعد على أمثلة وتمارين متدرجة.
خطاطة تحليل سلسلة إحصائية
- أنظمأرتب القيم وأحسب الحصيص الإجمالي والمتراكم.
- أحسبأميز المتوسط المرجح والوسيط والمنوال.
- أفسرأقارن المؤشرات وتوزيع القيم في سياق السؤال.
1. الفهم والقواعد الأساسية
الحصيص الإجمالي مجموع الحصيصات، وتردد قيمة هو حصيصها مقسومًا على الإجمالي. المتوسط المرجح هو مجموع جداءات القيم في حصيصاتها مقسومًا على الإجمالي.
الوسيط يقسم سلسلة مرتبة إلى جزأين متساويين في العدد قدر الإمكان. إذا كان العدد فرديًا نأخذ القيمة الوسطى، وإذا كان زوجيًا نأخذ متوسط القيمتين الوسطيتين.
المدى هو الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة، والمنوال هو الأكثر تكرارًا. المتوسط يتأثر بالقيم المتطرفة أكثر من الوسيط، لذلك نختار المؤشر المناسب للسؤال.
2. أمثلة محلولة
مثال 1
السلسلة المرتبة 4, 6, 6, 8, 11 وسيطها 6، ومنوالها 6، ومداها 11 − 4 = 7، ومتوسطها 35/5 = 7.
مثال 2
السلسلة 2, 5, 7, 10 وسيطها (5 + 7)/2 = 6. ليست هناك ضرورة أن يكون الوسيط إحدى قيم السلسلة.
3. طريقة حل التمارين
- حدد المعطيات والمطلوب، وارسم شكلًا أو اكتب التعبير المناسب عند الحاجة.
- اختر الخاصية التي تتحقق شروطها، وبيّن خطوات الحساب أو البرهان بالترتيب.
- راجع النتيجة بالتعويض أو بالتقدير، واكتب الوحدة المناسبة في مسائل القياس.
4. أخطاء شائعة
رتب القيم قبل تحديد الوسيط. في جدول الحصيصات استعمل الحصيص المتراكم لتحديد رتبة الوسط، ولا تعامل كل سطر كأنه مشاهدة واحدة.
5. تمارين مع التصحيح
حاول حل التمارين قبل فتح التصحيح، ثم قارن خطواتك بالحل.
1. أوجد وسيط 9, 3, 7, 5, 1.
إظهار التصحيح
نرتب 1, 3, 5, 7, 9، فالوسيط 5.
2. القيم 10, 12 بحصيصين 3, 2. احسب المتوسط.
إظهار التصحيح
(10 × 3 + 12 × 2)/5 = 10.8.
3. حصيص فئة 8 من أصل 40. احسب ترددها المئوي.
إظهار التصحيح
8/40 × 100 = 20%.
العودة إلى فهرس رياضيات الثالثة إعدادي ←
6. من جدول الحصيصات إلى تفسير النتائج
مثال تدريبي ببيانات متخيلة: سجل 10 تلاميذ عدد الكتب التي قرؤوها خلال شهر. نرتب القيم ثم نربط كل قيمة بعدد مرات ظهورها.
| عدد الكتب | الحصيص | المتراكم الصاعد | التردد |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | 10% |
| 1 | 2 | 3 | 20% |
| 2 | 4 | 7 | 40% |
| 3 | 2 | 9 | 20% |
| 4 | 1 | 10 | 10% |
الحصيص المتراكم الصاعد عند القيمة 2 هو 7: أي إن 7 تلاميذ قرؤوا كتابين على الأكثر. لا يعني ذلك أن 7 تلاميذ قرؤوا كتابين بالضبط؛ حصيص القيمة 2 هو 4 فقط.
المتوسط = (0 × 1 + 1 × 2 + 2 × 4 + 3 × 2 + 4 × 1) ÷ 10 = 2 كتابين. العدد الإجمالي زوجي، فنحدد القيمتين في الرتبتين 5 و6. كلتاهما 2 لأن الرتب من 4 إلى 7 توافق القيمة 2، إذن الوسيط 2. المنوال 2 لأنه صاحب أكبر حصيص، والمدى 4 − 0 = 4.
كيف نمثل الجدول؟
نضع عدد الكتب على المحور الأفقي والحصيص على المحور العمودي. نرسم أعمدة بارتفاعات 1، 2، 4، 2، 1 مع مقياس منتظم يبدأ من الصفر. في مبيان دائري، زاوية قطاع القيمة 2 تساوي 40 ÷ 100 × 360 = 144 درجة. مجموع زوايا القطاعات 360 درجة.
7. مقارنة سلسلتين لهما المتوسط نفسه
لنقارن السلسلتين المرتبتين: A = (8، 9، 10، 11، 12) وB = (2، 6، 10، 14، 18). مجموع كل منهما 50 وعدد القيم 5، فالمتوسط 10 والوسيط 10 في الحالتين. لكن مدى A يساوي 4 ومدى B يساوي 16. قيم B أكثر تباعدًا في هذا المثال؛ تساوي المتوسطين لا يعني تماثل توزيع القيم.
المدى وصف بسيط يعتمد على القيمتين الطرفيتين فقط، لذلك ننظر أيضًا إلى السلسلة أو المبيان كله. لا نستنتج أن مجموعة أفضل من الأخرى دون معرفة ما تمثله الأعداد.
8. تطبيقات إضافية مصححة
4. كم تلميذًا قرأ كتابًا واحدًا على الأكثر؟
إظهار التصحيح
1 + 2 = 3 تلاميذ، أي 30% من العينة. نجمع حصيصي القيمتين 0 و1.
5. كم تلميذًا قرأ كتابين على الأقل؟
إظهار التصحيح
4 + 2 + 1 = 7 تلاميذ. عبارة «على الأقل» تشمل القيمة 2 والقيم الأكبر منها.
6. لماذا لا نحسب المتوسط بجمع القيم الخمس والقسمة على 5؟
إظهار التصحيح
لأن القيم لا تتكرر بالعدد نفسه؛ يجب وزن كل قيمة بحصيصها والقسمة على الحصيص الإجمالي 10. توافق النتيجتين هنا مصادفة ناتجة عن تناظر المثال، وليس قاعدة عامة.
7. إذا عوضنا 18 بالقيمة 28 في السلسلة B، ماذا يتغير؟
إظهار التصحيح
يصير المجموع 60 والمتوسط 12. يبقى الوسيط 10 لأن القيمة الوسطى لم تتغير، ويصير المدى 28 − 2 = 26. يوضح المثال تأثر المتوسط بقيمة كبيرة.
8. ما زاوية قطاع من اختاروا 3 كتب؟
إظهار التصحيح
ترددهم 20%، وزاوية القطاع 20 ÷ 100 × 360 = 72 درجة.