فهم الترتيب والعمليات وتطبيق القواعد على أمثلة وتمارين متدرجة.
1. الفهم والقواعد الأساسية
إضافة عدد إلى طرفي متراجحة تحفظ ترتيبها. الضرب في موجب يحفظ الاتجاه، والضرب في سالب يعكسه. يمكن المقارنة بدراسة إشارة الفرق.
على الأعداد غير السالبة، التربيع والجذر المربع يحفظان الترتيب. فإذا 0 ≤ a < b فإن a² < b² و√a < √b. لا نعمم حكم التربيع على السوالب.
بالنسبة لعددين موجبين 0 < a < b تنعكس المقارنة عند أخذ المقلوب: 1/b < 1/a. هذه القواعد تسمح بتأطير تعبير انطلاقًا من تأطير مجهوله.
2. أمثلة محلولة
مثال 1
من 2 < x < 5 نجد 4 < x² < 25 و1/5 < 1/x < 1/2.
مثال 2
للمقارنة بين √7 و2.5 نقارن المربعين الموجبين: 7 > 6.25، إذن √7 > 2.5.
3. طريقة حل التمارين
- حدد المعطيات والمطلوب، وارسم شكلًا أو اكتب التعبير المناسب عند الحاجة.
- اختر الخاصية التي تتحقق شروطها، وبيّن خطوات الحساب أو البرهان بالترتيب.
- راجع النتيجة بالتعويض أو بالتقدير، واكتب الوحدة المناسبة في مسائل القياس.
4. أخطاء شائعة
من −5 < −2 لا نستنتج 25 < 4. يجب فحص مجال الأعداد قبل تربيع متراجحة.
5. تمارين مع التصحيح
حاول حل التمارين قبل فتح التصحيح، ثم قارن خطواتك بالحل.
1. إذا 3 < x < 4 فأطر −2x + 1.
إظهار التصحيح
−8 < −2x < −6 ثم −7 < −2x + 1 < −5.
2. قارن √12 و3.5.
إظهار التصحيح
12 < 12.25، إذن √12 < 3.5.
3. إذا 4 < x < 8 فأطر 2/x.
إظهار التصحيح
1/8 < 1/x < 1/4، ومنه 1/4 < 2/x < 1/2.