6. قراءة الصورة والسابق من التمثيل البياني
لإيجاد صورة عدد x نبدأ من فاصلته على المحور الأفقي، ثم نتحرك عموديًا إلى المستقيم، وبعد ذلك أفقيًا إلى المحور العمودي لقراءة الصورة. ولإيجاد سابق عدد y نسير بالعكس: نبدأ من ترتيبه، ونتجه أفقيًا إلى المستقيم ثم عموديًا إلى محور الفواصل.
مثال: إذا كان المستقيم يمر بالنقطتين (0, 2) و(2, 6) فإن معامل الدالة a = (6 − 2)/(2 − 0) = 2، وترتيب تقاطعه مع المحور العمودي b = 2. إذن f(x) = 2x + 2. صورة 3 هي 8، وسابق 10 هو 4.
القراءة من رسم تقريبي تعطي قيمة تقريبية. عندما تتوفر العبارة الجبرية، نتحقق بالتعويض أو بحل المعادلة للحصول على نتيجة دقيقة.
7. خطاطة حل أسئلة الدوال
8. حالة خاصة: الدالة الثابتة
إذا كان a = 0 فإن f(x) = b: كل الأعداد لها الصورة نفسها، وتمثيلها مستقيم أفقي. مثلًا، إذا كانت f(x) = 4 فكل عدد حقيقي سابق للقيمة 4، ولا يوجد سابق للقيمة 7. لذلك لا نقول إن لكل صورة سابقًا وحيدًا دون التحقق من a ≠ 0.
9. مقارنة عرضين باستعمال الدوال
في وضعية افتراضية، يقترح عرض أول كلفة A(x) = 5x، ويقترح عرض ثانٍ B(x) = 3x + 12، حيث x عدد الوحدات المستعملة وx ≥ 0. تتساوى الكلفتان إذا 5x = 3x + 12، أي عند x = 6، وتكون الكلفة 30.
إذا كان x < 6 فالعرض الأول أقل كلفة، وإذا كان x > 6 فالثاني أقل كلفة. بيانيًا، نقارن المستقيمين عند الفاصلة نفسها: الترتيب الأصغر يمثل الكلفة الأقل. لا نقارن نقطتين لهما فاصلتان مختلفتان.
10. تطبيقات إضافية مصححة
التمرين 4 — تحديد دالة من نقطتين
دالة تآلفية تحقق f(1) = 4 وf(3) = 10. حدد عبارتها ثم احسب f(0).
إظهار التصحيح 4
a = (10 − 4)/(3 − 1) = 6/2 = 3. وباستعمال f(1) = 4 نحصل على 3 + b = 4، أي b = 1. إذن f(x) = 3x + 1 وf(0) = 1.
التمرين 5 — تمييز الصورة والسابق
لتكن g(x) = −2x + 5. احسب صورة 3، ثم أوجد سابق 3.
إظهار التصحيح 5
الصورة: g(3) = −6 + 5 = −1. السابق: نحل −2x + 5 = 3 فنجد x = 1. العدد الذي نعوضه ليس هو القيمة التي نساوي بها العبارة.
التمرين 6 — الدالة الثابتة
لتكن h(x) = −3. ما صورة 100؟ وما سوابق −3؟ وهل للقيمة 0 سابق؟
إظهار التصحيح 6
صورة كل عدد، ومنها 100، هي −3. جميع الأعداد الحقيقية سوابق لـ−3. لا يوجد سابق لـ0 لأن الدالة لا تأخذ هذه القيمة.
التمرين 7 — اختيار عرض أقل كلفة
في المثال السابق، قارن A(x) = 5x وB(x) = 3x + 12 عند x = 4 ثم عند x = 10.
إظهار التصحيح 7
عند x = 4: A(4) = 20 وB(4) = 24، فالأول أقل كلفة. عند x = 10: A(10) = 50 وB(10) = 42، فالثاني أقل كلفة. تتفق النتيجتان مع عتبة التساوي x = 6.
فهم الدالة الخطية والدالة التآلفية وتطبيق القواعد على أمثلة وتمارين متدرجة.
1. الفهم والقواعد الأساسية
الدالة الخطية تكتب f(x) = ax وتمثل وضعية تناسب؛ تمثيلها مستقيم يمر بأصل المعلم. الدالة التآلفية تكتب g(x) = ax + b، والخطية حالة خاصة عندما b = 0.
صورة عدد تحسب بتعويضه مكان x. لإيجاد سابق قيمة y نحل ax + b = y. عند a ≠ 0 يكون السابق وحيدًا.
لتحديد دالة تآلفية من صورتين ذواتي سابقين مختلفين نحسب a = (y2 − y1)/(x2 − x1)، ثم نعوض لإيجاد b. التمثيل يزداد إذا a > 0 ويتناقص إذا a < 0.
2. أمثلة محلولة
مثال 1
للدالة g(x) = 3x + 2 صورة 4 هي 14، وسابق 20 هو حل 3x + 2 = 20 أي 6.
مثال 2
إذا f(1) = 5 وf(3) = 9 فإن a = 4/2 = 2 ثم b = 3، إذن f(x) = 2x + 3.
3. طريقة حل التمارين
- حدد المعطيات والمطلوب، وارسم شكلًا أو اكتب التعبير المناسب عند الحاجة.
- اختر الخاصية التي تتحقق شروطها، وبيّن خطوات الحساب أو البرهان بالترتيب.
- راجع النتيجة بالتعويض أو بالتقدير، واكتب الوحدة المناسبة في مسائل القياس.
4. أخطاء شائعة
لا تخلط بين الصورة والسابق. إضافة ثابت إلى علاقة تناسب تجعلها عادة تآلفية غير خطية.
5. تمارين مع التصحيح
حاول حل التمارين قبل فتح التصحيح، ثم قارن خطواتك بالحل.
1. احسب صورة −2 بالدالة f(x) = −4x.
إظهار التصحيح
f(−2) = 8.
2. أوجد سابق 7 بالدالة g(x) = 2x − 1.
إظهار التصحيح
2x − 1 = 7، إذن x = 4.
3. هل h(x) = 5x + 3 خطية؟
إظهار التصحيح
هي تآلفية لكنها ليست خطية لأن h(0) = 3 ≠ 0.