الزوايا المكونة من متوازيين وقاطع: حساب الزوايا الناتجة عن قاطع لمستقيمين متوازيين واستعمال العكس لإثبات التوازي.
1. الفهم والقواعد الأساسية
عندما يقطع مستقيم مستقيمين آخرين تتشكل أزواج من الزوايا. المتناظرتان تحتلان الموضع النسبي نفسه عند التقاطعين. والمتبادلتان داخليًا تقعان بين المستقيمين وعلى جهتين مختلفتين من القاطع.
إذا كان المستقيمان متوازيين، فإن الزاويتين المتناظرتين متساويتان، وكذلك المتبادلتان داخليًا. والزاويتان الداخليتان من الجهة نفسها من القاطع متكاملتان، أي مجموعهما 180°.
نستعمل العكس للبرهان: إذا تساوت زاويتان متناظرتان، أو متبادلتان داخليًا، فإن المستقيمين متوازيان. كما أن الزوايا المتقابلة بالرأس متساوية عند تقاطع مستقيمين، سواء وجد تواز أم لم يوجد.
2. أمثلة محلولة خطوة بخطوة
مثال 1
إذا قطع مستقيم خطين متوازيين وكانت إحدى الزوايا 62°، فإن الزاوية المتناظرة معها 62°، والمتجاورة معها على مستقيم 180−62 = 118°.
مثال 2
إذا كان زوج من الزوايا المتبادلة داخليًا يقيس 75° لكل واحدة، نستنتج توازي المستقيمين باستعمال عكس الخاصية. لا نحتاج إلى أن يبدو الخطان متوازيين في الرسم.
3. طريقة حل التمارين
- حدد القاطع والمستقيمين ثم موضع الزاويتين بدقة.
- اختر العلاقة: تساوٍ للمتناظرتين أو المتبادلتين داخليًا مع التوازي، وتكامل للداخليتين من الجهة نفسها.
- في البرهان ميز الفرضية من النتيجة: هل التوازي معطى، أم هو المطلوب إثباته؟
4. أخطاء شائعة
لا تستنتج تساوي زاويتين متناظرتين دون معطى التوازي. ولا تخلط الزوايا المتجاورة مع المتقابلة بالرأس؛ الأولى قد تتكامل على مستقيم والثانية تتساوى.
5. تمارين مع التصحيح
اكتب محاولتك أولًا، ثم افتح التصحيح وقارن خطوات الحل، لا النتيجة وحدها.
1. زاوية 48° بين متوازيين وقاطع. ما قياس متناظرتها؟
إظهار التصحيح
48° لأن المستقيمين متوازيان.
2. ما قياس زاوية مجاورة لها على مستقيم؟
إظهار التصحيح
180−48 = 132°.
3. تساوت زاويتان متبادلتان داخليًا. ما النتيجة؟
إظهار التصحيح
المستقيمان المقطوعان متوازيان، وفق عكس الخاصية.