الموشور القائم والأسطوانة القائمة: حساب حجم الموشور والأسطوانة ومساحتهما الجانبية والكلية.
1. الفهم والقواعد الأساسية
الموشور القائم مجسم قاعدتاه مضلعان متقايسان ومتوازيان، وأوجهه الجانبية مستطيلات. ارتفاعه هو المسافة العمودية بين القاعدتين. حجمه يساوي مساحة قاعدة مضروبة في الارتفاع: V = B×h.
مساحته الجانبية تساوي محيط القاعدة مضروبًا في الارتفاع: Sₗ = P×h. مساحته الكلية تساوي المساحة الجانبية زائد مساحتي القاعدتين: Sₜ = P×h+2B.
الأسطوانة القائمة قاعدتاها قرصان متقايسان ومتوازيان. إذا كان نصف القطر r والارتفاع h، فإن V = πr²h والمساحة الجانبية Sₗ = 2πrh، والمساحة الكلية Sₜ = 2πrh+2πr². وعند بسط السطح الجانبي نحصل على مستطيل أحد بعديه محيط القاعدة.
2. أمثلة محلولة خطوة بخطوة
مثال 1
موشور قاعدته مثلث قائم ضلعاه القائمان 3 cm و4 cm ووتره 5 cm، وارتفاع الموشور 10 cm. مساحة القاعدة B = 3×4÷2 = 6 cm²، والحجم V = 6×10 = 60 cm³. محيط القاعدة 12 cm، فالمساحة الجانبية 120 cm² والكلية 132 cm².
مثال 2
أسطوانة نصف قطرها 2 cm وارتفاعها 5 cm: الحجم 20π cm³، والمساحة الجانبية 20π cm²، والكلية 28π cm². تساوي العددين في هذا المثال لا يعني أن الحجم والمساحة المقدار نفسه.
3. طريقة حل التمارين
- حدد شكل القاعدة واحسب مساحتها ومحيطها بالقوانين المناسبة.
- ميز ارتفاع المجسم من أبعاد القاعدة.
- اختر الحجم أو المساحة المطلوبة ووحد الوحدات قبل التعويض.
4. أخطاء شائعة
مساحة القاعدة ليست محيطها. وارتفاع المثلث الذي يشكل قاعدة الموشور قد يختلف عن ارتفاع الموشور نفسه. الحجم يقاس بوحدة مكعبة، والمساحة بوحدة مربعة.
5. تمارين مع التصحيح
اكتب محاولتك أولًا، ثم افتح التصحيح وقارن خطوات الحل، لا النتيجة وحدها.
1. موشور مساحة قاعدته 15 cm² وارتفاعه 8 cm. احسب الحجم.
إظهار التصحيح
V = 15×8 = 120 cm³.
2. أسطوانة نصف قطرها 3 cm وارتفاعها 4 cm. احسب حجمها بدلالة π.
إظهار التصحيح
V = π×3²×4 = 36π cm³.
3. محيط قاعدة موشور 18 cm وارتفاعه 5 cm. احسب مساحته الجانبية.
إظهار التصحيح
Sₗ = 18×5 = 90 cm².
العودة إلى جميع دروس رياضيات الأولى إعدادي ←
6. نشر الأسطوانة: من المجسم إلى الورقة
نتخيل قطع السطح الجانبي للأسطوانة على امتداد ارتفاعها، ثم بسطه دون تمديد. نحصل على مستطيل طوله محيط القاعدة 2πr وعرضه الارتفاع h. نضيف قرصين نصف قطر كل منهما r إذا كانت العلبة مغلقة من الطرفين. لهذا لا نستعمل القطر 2r مكان محيط القاعدة في طول المستطيل.
7. هل المطلوب تغليف أم ملء؟
نحسب المساحة الجانبية فقط.
نضيف مساحة قاعدة واحدة إذا كان لها قاع ولا غطاء لها.
نضيف مساحتي القاعدتين إلى المساحة الجانبية.
في علبة نصف قطرها 3 cm وارتفاعها 8 cm، مساحة الورقة المحيطة بالجوانب 2π×3×8 = 48π cm². مساحة مادة العلبة المفتوحة من الأعلى 48π + 9π = 57π cm²، بينما مساحة العلبة المغلقة 66π cm². نهمل سمك المادة وألسنة اللصق في هذا النموذج المدرسي.
8. الحجم والسعة وتحويل الوحدات
لحساب سعة وعاء نستخدم أبعاده الداخلية. العلاقة 1 dm³ = 1 L والعلاقة 1 cm³ = 1 mL تساعدان على الانتقال من الحجم إلى السعة. الانتقال من السنتيمتر إلى الديسيمتر في الأطوال لا يستعمل المعامل نفسه في الحجوم: 1 dm³ = 1000 cm³. نؤجل التقريب حتى آخر خطوة.
9. تطبيقات مكملة مع التصحيح
4. اقرأ النشر
أسطوانة نصف قطرها 4 cm وارتفاعها 7 cm. ما بعدا مستطيل سطحها الجانبي؟
إظهار التصحيح 4
2πr = 8π cm وh = 7 cm. لا نستعمل 8 cm بدل 8π cm.
5. علبة بلا غطاء
نصف قطر علبة 2 cm وارتفاعها 6 cm. احسب مساحة الجوانب والقاع فقط.
إظهار التصحيح 5
S = 2π×2×6 + π×2² = 28π cm². أضفنا قرصًا واحدًا لأنها مفتوحة من الأعلى.
6. حوّل إلى السعة
وعاء أسطواني نصف قطره الداخلي r = 5 cm وارتفاعه الداخلي h = 12 cm. احسب سعته باللتر.
إظهار التصحيح 6
V = π×25×12 = 300π cm³، ومنه C = 0.3π L ≈ 0.942 L.
7. موشور ثلاثي
قاعدة موشور مثلث قائم أضلاعه 6 cm و8 cm و10 cm، وارتفاعه 5 cm. احسب الحجم والمساحة الكلية.
إظهار التصحيح 7
B = 6×8÷2 = 24 cm²، P = 24 cm، V = 24×5 = 120 cm³، S = 24×5 + 2×24 = 168 cm².