فهم الهرم والمخروط الدوراني وتطبيق القواعد على أمثلة وتمارين متدرجة.
1. الفهم والقواعد الأساسية
الهرم مجسم له قاعدة مضلعة وأوجه جانبية مثلثة تلتقي في رأس. ارتفاعه هو المسافة العمودية من الرأس إلى مستوى القاعدة. حجمه V = B × h/3 حيث B مساحة القاعدة.
المخروط الدوراني ينتج عن دوران مثلث قائم حول أحد ضلعي الزاوية القائمة. قاعدته قرص نصف قطره r وارتفاعه h، وحجمه V = πr²h/3.
للمقارنة، حجم الموشور القائم V = B × h؛ لذلك يساوي حجم الهرم ثلث حجم موشور له مساحة القاعدة والارتفاع نفسيهما. توحّد وحدات الأطوال قبل حساب الحجم.
2. أمثلة محلولة
مثال 1
هرم قاعدته مربع ضلعه 6 cm وارتفاعه 9 cm: مساحة القاعدة 36 cm²، والحجم 36 × 9/3 = 108 cm³.
مثال 2
مخروط نصف قطر قاعدته 3 cm وارتفاعه 8 cm: V = π × 3² × 8/3 = 24π cm³، أي نحو 75.4 cm³.
3. طريقة حل التمارين
- حدد المعطيات والمطلوب، وارسم شكلًا أو اكتب التعبير المناسب عند الحاجة.
- اختر الخاصية التي تتحقق شروطها، وبيّن خطوات الحساب أو البرهان بالترتيب.
- راجع النتيجة بالتعويض أو بالتقدير، واكتب الوحدة المناسبة في مسائل القياس.
4. أخطاء شائعة
لا تعوض مولّد المخروط أو حافة الهرم مكان الارتفاع العمودي. ولا تنس عامل 1/3 ووحدة الحجم المكعبة.
5. تمارين مع التصحيح
حاول حل التمارين قبل فتح التصحيح، ثم قارن خطواتك بالحل.
1. هرم مساحة قاعدته 30 cm² وارتفاعه 12 cm. احسب حجمه.
إظهار التصحيح
V = 30 × 12/3 = 120 cm³.
2. مخروط نصف قطره 2 cm وارتفاعه 9 cm. احسب حجمه بدلالة π.
إظهار التصحيح
V = π × 2² × 9/3 = 12π cm³.
3. هرم حجمه 80 cm³ ومساحة قاعدته 20 cm². أوجد ارتفاعه.
إظهار التصحيح
من 80 = 20h/3 نجد h = 3 × 80/20 = 12 cm.
العودة إلى فهرس رياضيات الثانية إعدادي ←
6. نشر الهرم وتمييز الارتفاعات
يتكون نشر الهرم من مضلع يمثل القاعدة ومثلثات تمثل الأوجه الجانبية. نحسب مساحة كل مثلث باستعمال قاعدته وارتفاعه داخل الوجه نفسه، ثم نجمع المساحات. لا نعوض ارتفاع الهرم العمودي على القاعدة مكان ارتفاع الوجه المثلث.
في هرم منتظم قاعدته مربع ضلعه 6 cm وارتفاعه 4 cm، يقع قدم الارتفاع في مركز المربع. المسافة من المركز إلى منتصف ضلع تساوي 3 cm. لذلك ارتفاع الوجه الجانبي a = √(4² + 3²) = 5 cm. مساحة الأوجه الأربعة 4×(6×5÷2) = 60 cm²، والمساحة الكلية 60 + 36 = 96 cm². أما الحجم فهو 36×4÷3 = 48 cm³.
7. نشر المخروط الدوراني
السطح الجانبي عند بسطه قطاع دائري، ونصف قطر هذا القطاع هو طول مولد المخروط g، وليس نصف قطر القاعدة r. طول قوس القطاع يساوي محيط قاعدة المخروط 2πr. في مخروط دوراني قائم، نحسب المولد من g² = h² + r².
القطاع جزء من قرص كامل محيطه 2πg. لذلك زاويته بالدرجات α = 360×r/g. ومساحة السطح الجانبي Sₗ = πrg، والمساحة الكلية، إذا أضفنا القاعدة، Sₜ = πrg + πr². يستعمل h في الحجم وg في المساحة الجانبية.
8. خطاطة اختيار المعطى الصحيح
أحسب مساحة القاعدة وأستعمل الارتفاع العمودي، ثم أقسم على 3.
أحسب مساحات الأوجه؛ للمخروط أحتاج المولد، وللهرم ارتفاع كل وجه.
أتحقق من اتصال الأوجه وتوافق الحواف أو طول القوس مع محيط القاعدة.
9. تطبيقات مكملة مع التصحيح
4. ارتفاع الهرم وارتفاع وجهه
هرم منتظم قاعدته مربع ضلعه 10 cm وارتفاعه 12 cm. احسب ارتفاع الوجه المثلث.
إظهار التصحيح 4
المسافة من مركز القاعدة إلى منتصف ضلعها 5 cm. إذن a = √(12² + 5²) = 13 cm.
5. مساحة هرم منتظم
استعمل أبعاد التمرين السابق لحساب المساحة الكلية والحجم.
إظهار التصحيح 5
S = 4×(10×13÷2) + 10² = 360 cm²، والحجم V = 100×12÷3 = 400 cm³.
6. نشر مخروط
مخروط نصف قطره 3 cm وارتفاعه 4 cm. احسب المولد وزاوية قطاع النشر.
إظهار التصحيح 6
g = √(3² + 4²) = 5 cm، ثم α = 360×3/5 = 216°. نصف قطر القطاع هو 5 cm.
7. ميز المساحة من الحجم
لنفس المخروط السابق، احسب المساحة الجانبية والكلية والحجم.
إظهار التصحيح 7
Sₗ = π×3×5 = 15π cm²، Sₜ = 15π + 9π = 24π cm²، V = π×9×4÷3 = 12π cm³.