فهم مبرهنة فيثاغورس وعكسها وتطبيق القواعد على أمثلة وتمارين متدرجة.
1. الفهم والقواعد الأساسية
إذا كان المثلث ABC قائمًا في A فإن BC² = AB² + AC². الضلع BC المقابل للزاوية القائمة هو الوتر وأطول أضلاع المثلث.
عكس المبرهنة: إذا كان BC أطول ضلع وتحققت BC² = AB² + AC² فإن المثلث قائم في A. نستخدم العكس لإثبات التعامد.
لحساب ضلع قائم نطرح مربع الآخر من مربع الوتر، ثم نأخذ الجذر الموجب لأن الطول موجب. وحدات الأطوال يجب أن تكون موحدة.
2. أمثلة محلولة
مثال 1
ضلعان قائمان 9 cm و12 cm: الوتر √(81 + 144) = √225 = 15 cm.
مثال 2
أضلاع مثلث 7, 24, 25: لدينا 25² = 625 و7² + 24² = 49 + 576 = 625، فهو قائم مقابل الضلع 25.
3. طريقة حل التمارين
- حدد المعطيات والمطلوب، وارسم شكلًا أو اكتب التعبير المناسب عند الحاجة.
- اختر الخاصية التي تتحقق شروطها، وبيّن خطوات الحساب أو البرهان بالترتيب.
- راجع النتيجة بالتعويض أو بالتقدير، واكتب الوحدة المناسبة في مسائل القياس.
4. أخطاء شائعة
لا تستخدم صيغة فيثاغورس لحساب ضلع قبل إثبات أن المثلث قائم أو إعطاء ذلك في المعطيات.
5. تمارين مع التصحيح
حاول حل التمارين قبل فتح التصحيح، ثم قارن خطواتك بالحل.
1. وتر مثلث قائم 10 cm وضلع قائم 6 cm. أوجد الآخر.
إظهار التصحيح
√(100 − 36) = 8 cm.
2. هل المثلث بأضلاع 4, 5, 6 قائم؟
إظهار التصحيح
لا؛ 6² = 36 بينما 4² + 5² = 41.
3. مربع ضلعه 5 cm. أوجد قطره.
إظهار التصحيح
القطر وتر مثلث قائم، فيساوي √(25 + 25) = 5√2 cm.