الكتابات الكسرية ومقارنة الكسور: تبسيط الكسور ومقارنتها باستعمال كتابات متكافئة.
1. الفهم والقواعد الأساسية
الكتابة الكسرية a/b تمثل خارج قسمة a على b، بشرط b ≠ 0. يسمى a البسط وb المقام. في 3/4 قسمت الوحدة إلى 4 أجزاء متساوية وأخذت 3 منها. يمكن أن يمثل الكسر عددًا أكبر من 1 مثل 7/4.
نحصل على كسر مكافئ بضرب البسط والمقام، أو قسمتهما، في العدد نفسه غير المنعدم. مثل 2/3 = 4/6. التبسيط لا يغير قيمة الكسر؛ ونعيد القسمة على عوامل مشتركة حتى لا يبقى عامل مشترك أكبر من 1.
لمقارنة كسرين موجبين نوحد المقامين، ثم نقارن البسطين. إذا كان المقامان موجبين جاز أيضًا مقارنة الجداءين التبادليين: نقارن a × d وc × b لمقارنة a/b وc/d. وعند تساوي البسط الموجب يكون الكسر ذو المقام الأصغر أكبر.
2. أمثلة محلولة خطوة بخطوة
مثال 1
نبسط 18/24 بقسمة البسط والمقام على 6 فنحصل على 3/4. تمثل الكتابتان المقدار نفسه.
مثال 2
نقارن 5/6 و3/4: المقام المشترك 12، فنكتب 5/6 = 10/12 و3/4 = 9/12؛ إذن 5/6 > 3/4.
مثال 3
العدد العشري 0.75 = 75/100 = 3/4. وفي المقابل 1/3 ليس عددًا عشريًا ذا كتابة منتهية، لأن قسمته تعطي تكرارًا لا ينتهي.
3. طريقة حل التمارين
- تأكد أن المقامات غير منعدمة.
- بسّط إن كان ذلك يسهل المقارنة، ثم اختر مقامًا مشتركًا مناسبًا.
- اضرب البسط والمقام معًا في العامل نفسه، واكتب علامة المقارنة بعد توحيد المقامين.
4. أخطاء شائعة
لا نقارن الكسور بالنظر إلى البسط وحده إذا اختلفت المقامات. ولا يجوز إضافة عدد إلى البسط والمقام على أنها طريقة للحصول على كسر مكافئ.
5. تمارين مع التصحيح
اكتب محاولتك أولًا، ثم افتح التصحيح وقارن خطوات الحل، لا النتيجة وحدها.
1. بسّط 20/30.
إظهار التصحيح
نقسم على 10: 20/30 = 2/3.
2. قارن 7/10 و2/3.
إظهار التصحيح
7/10 = 21/30 و2/3 = 20/30، ولذلك 7/10 > 2/3.
3. هل 3/5 و6/10 متساويان؟ علل.
إظهار التصحيح
نعم؛ ضربنا بسط الكسر الأول ومقامه في 2. ويمكن أيضًا التحقق من 3 × 10 = 5 × 6.