فهم المستقيمات الموازية لأضلاع مثلث وتطبيق القواعد على أمثلة وتمارين متدرجة.
1. الفهم والقواعد الأساسية
في مثلث ABC، إذا كانت M منتصف [AB] وN منتصف [AC] فإن MN ∥ BC وطول MN = BC/2. تسمى هذه خاصية قطعة المنتصفين.
عكسها: المستقيم المار بمنتصف ضلع في مثلث والموازي لضلع ثان يقطع الضلع الثالث في منتصفه. تتيح الخاصية إنشاء منتصف أو إثبات التوازي دون قياس تقريبي.
تتعلق القاعدة بضلعين من المثلث نفسه؛ لذلك نحدد المثلث والمنتصفين بوضوح، ونكتب التساوي بين نصفي كل ضلع كمعطى.
2. أمثلة محلولة
مثال 1
في ABC، لدينا AM = MB وAN = NC وBC = 10 cm. إذن MN ∥ BC وMN = 5 cm.
مثال 2
إذا كانت M منتصف AB والمستقيم عبرها يوازي BC ويلتقي AC في N، فإن AN = NC؛ إذا كان AC بطول 8 cm فكل نصف 4 cm.
3. طريقة حل التمارين
- حدد المعطيات والمطلوب، وارسم شكلًا أو اكتب التعبير المناسب عند الحاجة.
- اختر الخاصية التي تتحقق شروطها، وبيّن خطوات الحساب أو البرهان بالترتيب.
- راجع النتيجة بالتعويض أو بالتقدير، واكتب الوحدة المناسبة في مسائل القياس.
4. أخطاء شائعة
مرور مستقيم بمنتصف ضلع واحد لا يكفي. نحتاج أيضًا إلى توازيه مع ضلع آخر لاستخلاص أنه ينصف الثالث.
5. تمارين مع التصحيح
حاول حل التمارين قبل فتح التصحيح، ثم قارن خطواتك بالحل.
1. منتصفا ضلعين وصلا بقطعة طولها 7 cm. ما طول الضلع الثالث؟
إظهار التصحيح
14 cm وفق خاصية المنتصفين.
2. ما شرط استنتاج التوازي من موقع M وN؟
إظهار التصحيح
أن تكونا منتصفي ضلعين في المثلث نفسه.
3. M منتصف AB وMN ∥ BC مع N على AC. ماذا نستنتج؟
إظهار التصحيح
N منتصف AC، أي AN = NC.
العودة إلى فهرس رياضيات الثانية إعدادي ←
6. حالة التناسب العامة داخل المثلث
خاصية المنتصفين حالة خاصة من علاقة أعم. في مثلث ABC، إذا كانت M على [AB] وN على [AC] وكان (MN) ∥ (BC)، فإن AM/AB = AN/AC = MN/BC. نضع في كل نسبة طولًا من المثلث الصغير فوق الطول المناظر له في المثلث الكبير. نستعمل هذه العلاقة هنا في وضعية نقط داخل ضلعي المثلث؛ وستتوسع دراسة مبرهنة طاليس وعكسها في الثالثة إعدادي.
7. مثال حسابي مفصل
نعطي AB = 12 cm وAC = 9 cm وBC = 15 cm وAM = 4 cm، مع M على [AB] وMN ∥ BC وN على [AC]. معامل التناسب هو AM/AB = 4/12 = 1/3. إذن AN = AC × 1/3 = 3 cm، وMN = BC × 1/3 = 5 cm. القيم الثلاث مترابطة بالمعامل نفسه، وهو هنا ليس 1/2؛ لذلك لا نتعامل مع M وN باعتبارهما منتصفي الضلعين.
8. تقسيم قطعة إلى 3 أجزاء متساوية
لتقسيم [AB] دون الاعتماد على تقريب طوله، نرسم من A نصف مستقيم لا يقع على (AB). نعين عليه P1 وP2 وP3 بالترتيب بحيث AP1 = P1P2 = P2P3 باستعمال فتحة بركار ثابتة. نصل P3 بـB، ثم نرسم من P1 ومن P2 مستقيمين موازيين لـ(P3B). يقطعان [AB] في M وN؛ فتكون القطع AM وMN وNB متساوية.
9. تبرير هذا التقسيم
في المثلث AP3B، يوازي المستقيم P1M الضلع P3B، فنحصل على AM/AB = AP1/AP3 = 1/3. وباستعمال P2N نحصل على AN/AB = 2/3. لذلك MN = AN − AM = AB/3 وNB = AB − AN = AB/3. لإنجاز 5 أجزاء نكرر الفكرة بخمس خطوات متساوية على نصف المستقيم، ثم نرسم الموازيات المناسبة.
10. أخطاء يجب تجنبها
التناسب يحتاج إلى المعطى الهندسي الخاص بالتوازي؛ لا نستنتجه من شكل تقريبي فقط. لا نخلط بين AN وNC، ولا بين AM وMB. ولإنجاز التقسيم، يجب أن تتساوى الخطوات على نصف المستقيم المساعد، لا أن نختار نقطًا عشوائية ثم نرسم موازيات.
11. تطبيقات إضافية مع التصحيح
1. AB = 10 cm وAC = 15 cm وAM = 4 cm. مع تحقق شروط التوازي، احسب AN.
إظهار التصحيح
AM/AB = 4/10 = 0.4، إذن AN = 15 × 0.4 = 6 cm.
2. معامل التصغير داخل المثلث 2/5 وBC = 20 cm. احسب MN.
إظهار التصحيح
MN = (2/5) × 20 = 8 cm.
3. قطعة طولها 12 cm قسمت إلى 3 أجزاء متساوية. احسب AM وAN إذا كان ترتيب النقط A ثم M ثم N ثم B.
إظهار التصحيح
AM = 12/3 = 4 cm وAN = 2 × 4 = 8 cm.
4. هل تساوي خطوات البركار وحده يكفي لإنجاز التقسيم؟
إظهار التصحيح
لا. يجب أيضًا وصل آخر نقطة بالطرف B ورسم المستقيمات الموازية لهذا الوصل، لأن التوازي هو الذي يحقق التناسب.