فهم نظمة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين وتطبيق القواعد على أمثلة وتمارين متدرجة.
1. الفهم والقواعد الأساسية
حل نظمة زوج مرتب (x, y) يحقق المعادلتين معًا. حل إحدى المعادلتين وحدها لا يكفي.
بطريقة التعويض نعبر عن أحد المجهولين بدلالة الآخر ثم نعوض في المعادلة الثانية. بطريقة الحذف نضرب المعادلات بمعاملات مناسبة ونجمع لإزالة مجهول.
هندسيًا يمثل الحل نقطة تقاطع المستقيمين. قد يوجد حل واحد، أو لا يوجد حل إذا كانا متوازيين مختلفين، أو عدد غير منته من الحلول إذا كانا منطبقين.
2. أمثلة محلولة
مثال 1
للنظمة x + y = 7 وx − y = 1 نجمع فنجد 2x = 8، ثم x = 4 وy = 3. التحقق يحقق المعادلتين.
مثال 2
للنظمة y = 2x وx + y = 12 نعوض فنحصل على 3x = 12، ومنه x = 4 وy = 8.
3. طريقة حل التمارين
- حدد المعطيات والمطلوب، وارسم شكلًا أو اكتب التعبير المناسب عند الحاجة.
- اختر الخاصية التي تتحقق شروطها، وبيّن خطوات الحساب أو البرهان بالترتيب.
- راجع النتيجة بالتعويض أو بالتقدير، واكتب الوحدة المناسبة في مسائل القياس.
4. أخطاء شائعة
اكتب الحل زوجًا مرتبًا وراجعه في المعادلتين. عند ضرب معادلة في عدد يجب ضرب جميع حدودها وطرفيها.
5. تمارين مع التصحيح
حاول حل التمارين قبل فتح التصحيح، ثم قارن خطواتك بالحل.
1. حل x + y = 10 وx − y = 4.
إظهار التصحيح
بالجمع 2x = 14، إذن x = 7 وy = 3.
2. حل 2x + y = 11 وy = 3.
إظهار التصحيح
2x + 3 = 11، فيكون الحل (4, 3).
3. هل للنظمة x + y = 2 وx + y = 5 حل؟
إظهار التصحيح
لا، لأن المجموع نفسه لا يمكن أن يساوي عددين مختلفين في الوقت نفسه.