الرياضيات • الثانية إعدادي • الهندسة
يساعد درس مبرهنة فيتاغورس وجيب تمام زاوية حادة على حساب أطوال مجهولة في المثلث القائم، والتحقق من تعامد ضلعين. نبدأ بتحديد الوتر، ثم نختار العلاقة المناسبة حسب المعطيات والمطلوب.
1. تمييز الوتر والضلع المجاور
ليكن ABC مثلثًا قائم الزاوية في A. الضلع [BC] المقابل للزاوية القائمة هو الوتر، وهو أطول أضلاع المثلث. بالنسبة إلى الزاوية الحادة عند B، فإن [AB] هو الضلع المجاور غير الوتر، و[AC] هو الضلع المقابل.
يتغير الضلع المجاور بتغير الزاوية المختارة: بالنسبة إلى الزاوية عند C يصبح [AC] هو الضلع المجاور غير الوتر. أما الوتر فلا يتغير.
2. مبرهنة فيتاغورس المباشرة
نستعمل المبرهنة المباشرة عندما يكون التعامد معلومًا ونريد حساب طول. في الرسم: BC² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25، ومنه BC = √25 = 5 cm. نأخذ الجذر الموجب لأن الطول موجب.
لحساب ضلع قائم، نعزل مربعه: AC² = BC² − AB². إذا كان BC = 10 cm وAB = 8 cm فإن AC² = 100 − 64 = 36، وبالتالي AC = 6 cm.
3. عكس المبرهنة: إثبات أن المثلث قائم
إذا كانت أطوال الأضلاع الثلاثة معلومة، نحدد الأطول أولًا. إذا كان BC الأطول ووجدنا أن BC² = AB² + AC²، فإن المثلث ABC قائم في A بعكس مبرهنة فيتاغورس.
مثال: أطوال الأضلاع 5 cm و12 cm و13 cm. نجد 13² = 169 و5² + 12² = 25 + 144 = 169. إذن المثلث قائم، والضلع ذو الطول 13 cm هو الوتر. إذا لم تتحقق المساواة باستعمال الأطوال الدقيقة، فالمثلث ليس قائمًا.
4. جيب تمام زاوية حادة
في المثلث المرسوم: cos B = 4/5 = 0.8 وcos C = 3/5 = 0.6. جيب التمام نسبة دون وحدة، وقيمته لزاوية حادة أكبر من 0 وأصغر من 1.
إذا علمنا الوتر وجيب التمام نحسب المجاور: AB = BC × cos B. مثال: BC = 15 cm وcos B = 0.6، إذن AB = 15 × 0.6 = 9 cm. وإذا علمنا المجاور وجيب التمام نحسب الوتر: BC = AB / cos B.
5. خطاطة اختيار طريقة الحل
6. أخطاء شائعة
- لا نطبق المبرهنة المباشرة على مثلث لم يثبت أنه قائم.
- لا نكتب BC = AB + AC؛ العلاقة تخص مربعات الأطوال.
- عند حساب ضلع قائم نطرح مربع الضلع الآخر من مربع الوتر، وليس العكس.
- نستعمل وحدة طول واحدة قبل الحساب، ثم نكتب الوحدة في النتيجة.
- لا نقسم الوتر على المجاور لحساب جيب التمام؛ ظهور نتيجة أكبر من 1 لزاوية حادة ينبه إلى خطأ.
7. تمارين مصححة
حاول حل كل تمرين، ثم افتح التصحيح وقارن خطواتك.
التمرين 1 — حساب الوتر
مثلث ABC قائم في A، حيث AB = 9 cm وAC = 12 cm. احسب BC.
إظهار التصحيح 1
بما أن المثلث قائم في A فإن BC² = AB² + AC² = 81 + 144 = 225. إذن BC = √225 = 15 cm.
التمرين 2 — حساب ضلع قائم
مثلث DEF قائم في D، حيث EF = 17 cm وDE = 8 cm. احسب DF.
إظهار التصحيح 2
EF هو الوتر. لدينا DF² = EF² − DE² = 289 − 64 = 225. ومنه DF = 15 cm.
التمرين 3 — اختبار التعامد
هل المثلث ذو الأطوال 6 cm و8 cm و11 cm قائم؟ علل.
إظهار التصحيح 3
الضلع الأطول طوله 11 cm. نجد 11² = 121 بينما 6² + 8² = 36 + 64 = 100. المساواة غير متحققة، لذا المثلث ليس قائمًا.
التمرين 4 — تطبيق العكس
في مثلث RST لدينا RS = 7 cm وRT = 24 cm وST = 25 cm. أثبت أنه قائم وحدد الرأس.
إظهار التصحيح 4
ST هو الأطول، و25² = 625 = 49 + 576 = 7² + 24². حسب عكس المبرهنة، المثلث قائم في R لأن الوتر هو [ST].
التمرين 5 — حساب جيب التمام
المثلث ABC قائم في A، حيث AB = 8 cm وAC = 6 cm. احسب BC ثم cos B وcos C.
إظهار التصحيح 5
BC² = 64 + 36 = 100، إذن BC = 10 cm. بالنسبة إلى B، المجاور هو AB، لذلك cos B = 8/10 = 0.8. بالنسبة إلى C، المجاور هو AC، لذلك cos C = 6/10 = 0.6.
التمرين 6 — إيجاد الوتر من نسبة
مثلث ABC قائم في A، حيث AB = 6 cm وcos B = 0.75. احسب BC. هل يلزم أولًا حساب قياس الزاوية؟
إظهار التصحيح 6
cos B = AB/BC، ومنه BC = AB/cos B = 6/0.75 = 8 cm. لا يلزم حساب قياس الزاوية؛ النسبة المعطاة تكفي. النتيجة معقولة لأن الوتر 8 cm أطول من المجاور 6 cm.
8. خلاصة
فيتاغورس تربط الأطوال الثلاثة للمثلث القائم، وجيب التمام يربط زاوية حادة بنسبة طولين. يبدأ الحل الصحيح بتحديد الوتر، ثم كتابة الخاصية التي تتحقق شروطها.