المعادلات والمتراجحات والنظمات — الجذع المشترك العلمي

1. معادلة الدرجة الأولى وشروط التعريف

حل معادلة يعني إيجاد جميع قيم المجهول التي تجعل الطرفين متساويين. في ax+b=0، إذا كان a غير منعدم فالحل x=−b/a. إذا كان a=0 وb غير منعدم فلا حل، وإذا كان a=b=0 فكل عدد حقيقي حل. في معادلة كسرية نستبعد أولًا أصفار المقامات؛ مثلًا (x+1)/(x−2)=3 تشترط x≠2. ثم نضرب في المقام غير المنعدم فنجد x+1=3x−6، وبالتالي x=7/2 وهو مقبول.

2. المعادلة من الدرجة الثانية

نكتب ax²+bx+c=0 مع a≠0. نبحث عن تعميل مباشر، أو نحسب المميز Δ=b²−4ac. إذا كان Δ موجبًا فهناك حلان x₁=(−b−√Δ)/(2a) وx₂=(−b+√Δ)/(2a). إذا كان منعدمًا فهناك حل مضاعف x₀=−b/(2a). وإذا كان سالبًا فلا حل حقيقي. مثال x²−5x+6=0 له مميز 1 وحلان 2 و3، ويمكن تعميله إلى (x−2)(x−3)=0.

3. إشارة ثلاثية الحدود

عندما يكون لثلاثية الحدود جذران حقيقيان مختلفان نرتبهما r₁<r₂. تكون إشارتها إشارة a خارج المجال بين الجذرين، وعكس إشارة a داخله، وتنعدم عند الجذرين. إذا كان Δ سالبًا تكون الإشارة إشارة a لكل x. وإذا كان Δ منعدمًا تكون إشارة a ما عدا الجذر المضاعف حيث تنعدم. مثال (x−2)(x−3) موجب عندما x<2 أو x>3، وسالب عندما 2<x<3.

4. المتراجحات وجداول الإشارة

الجمع والطرح يحفظان اتجاه المتراجحة، والضرب أو القسمة في عدد سالب يعكسانه. لحل متراجحة جداء أو خارج ننقل كل شيء إلى طرف واحد، ثم نعمل ونحدد أصفار العوامل والقيم الممنوعة، ونقسم المستقيم إلى مجالات وندرس الإشارة فيها. في (x−1)/(x+2)≥0 نستبعد −2، ونقبل 1 لأن البسط ينعدم عنده. إشارتا البسط والمقام متوافقتان خارج المجال بين −2 و1، لذلك الحل ]−∞;−2[∪[1;+∞[. لا نضرب في مقام مجهول الإشارة دون مناقشة إشارته.

5. نظام معادلتين من الدرجة الأولى

نظام من الشكل ax+by=c وa′x+b′y=c′ يطلب زوجًا مرتبًا (x,y) يحقق المعادلتين معًا. بالتعويض نعزل مجهولًا ثم نعوض في المعادلة الأخرى. وبالحذف نضرب إحدى المعادلتين أو كلتيهما لنحصل على معاملين متعاكسين ثم نجمع. المحدد D=ab′−a′b: إذا كان غير منعدم فالحل وحيد. وإذا انعدم ندرس التوافق: قد لا يوجد حل أو توجد حلول لا نهائية. هندسيًا قد يتقاطع المستقيمان أو يتوازيان دون انطباق أو ينطبقان.

6. نمذجة مسألة والتحقق

نحدد المجهولين ووحدتيهما وشروطهما، ثم نترجم المعطيات إلى معادلات. بعد الحل نتحقق في المعادلتين وفي سياق المسألة؛ العدد السالب قد يكون حلًا جبريًا لكنه لا يصلح لعدد تذاكر أو طول. في المتراجحات نراجع الحدود المفتوحة والمغلقة والقيم الممنوعة. كما أن تربيع معادلة قد يولد حلولًا إضافية، لذلك نعوض النتائج في المعادلة الأصلية.

خطاطة تلخيصية

مثال محلول خطوة بخطوة

6 تمارين مصححة

حاول الحل أولًا، ثم افتح التصحيح للمقارنة.

التمرين 1

حل 3x−7=5.

التمرين 2

حل x²−4x+3=0.

التمرين 3

حل في ℝ: x²+2x+5=0.

التمرين 4

حل −2x+3>7.

التمرين 5

حل (x−1)(x+3)≤0.

التمرين 6

حل النظام x+y=5 و2x−y=4.