الجذع المشترك العلمي · الرياضيات · شرح بالعربية
نتعلم في هذا الدرس كيف نستخدم القسمة والتحليل إلى عوامل أولية لدراسة الأعداد الصحيحة الطبيعية، وحساب القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر، وبناء براهين بسيطة باستعمال الزوجية.
1. الأعداد الطبيعية والزوجية
نرمز لمجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية بـ ℕ، ونكتب: 0، 1، 2، 3، … . العدد الزوجي يكتب على الصورة 2k، والعدد الفردي يكتب 2k+1 حيث k عدد طبيعي. العدد 0 زوجي. مجموع عددين زوجيين زوجي، ومجموع فرديين زوجي، ومجموع زوجي وفردي فردي. لا يكفي اختبار مثال واحد لإثبات خاصية لكل الأعداد؛ نستعمل الكتابة العامة.
2. القواسم والمضاعفات
إذا كان a عددًا طبيعيًا غير منعدم فإن a يقسم b عندما يوجد عدد طبيعي k بحيث b=a×k. نكتب a ∣ b. مثلًا 6 ∣ 42 لأن 42=6×7. العدد 1 يقسم كل عدد طبيعي، وكل عدد طبيعي غير منعدم يقسم 0. نميز بين قواسم 12، وهي 1 و2 و3 و4 و6 و12، ومضاعفاته التي تبدأ بـ0 و12 و24 و36.
3. قواعد قابلية القسمة
يقبل عدد القسمة على 2 إذا كان رقم وحداته زوجيًا، وعلى 5 إذا انتهى بـ0 أو5، وعلى 10 إذا انتهى بـ0. يقبل القسمة على 3 أو9 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3 أو9 على الترتيب. ويقبل القسمة على 4 إذا كان العدد المكوّن من آخر رقمين يقبل القسمة على 4. مثال: 234 يقبل القسمة على 2 وعلى 3 وعلى 9 لأن مجموع أرقامه 9، لكنه لا يقبل القسمة على 4 لأن 34 لا يقبلها.
4. الأعداد الأولية والتحليل
العدد الأولي عدد طبيعي أكبر من 1 له قاسمان موجبان فقط: 1 ونفسه. لذلك 1 ليس أوليًا، و2 هو العدد الأولي الزوجي الوحيد. لفحص أولية عدد n نختبر القواسم الأولية التي لا تتجاوز جذره التربيعي. مثلًا 97 لا يقبل القسمة على 2 أو3 أو5 أو7، وجذره أصغر من10، لذا فهو أولي. نحلل عددًا أكبر من1 بالقسمة المتتالية على الأعداد الأولية: 84=2×2×3×7=2²×3×7.
5. القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر
نرمز للقاسم المشترك الأكبر بـPGCD وللمضاعف المشترك الأصغر بـPPCM. بعد التحليل إلى عوامل أولية، نأخذ في PGCD العوامل المشتركة بأصغر أس، وفي PPCM جميع العوامل الموجودة بأكبر أس. إذا كان PGCD لعددين يساوي1 فهما أوليان فيما بينهما؛ لا يلزم أن يكون كل منهما أوليًا. للعددين الموجبين a وb: PGCD(a,b)×PPCM(a,b)=a×b.
6. برهان بالزوجية
لنبرهن أن جداء عددين طبيعيين متتاليين زوجي. إذا كان n زوجيًا فهو من الشكل 2k، فيكون الجداء n(n+1)=2k(2k+1) مضاعفًا لـ2. وإذا كان n فرديًا فإن n+1=2(k+1) زوجي، فيكون الجداء أيضًا مضاعفًا لـ2. غطينا الحالتين الممكنتين، ولذلك فالخاصية صحيحة لكل n طبيعي.
خطاطة تلخيصية
مثال محلول خطوة بخطوة
6 تمارين مصححة
حاول الحل أولًا، ثم افتح التصحيح للمقارنة.
التمرين 1
حدد الأعداد الزوجية والأولية من: 1، 2، 9، 17، 24.
إظهار التصحيح
الزوجيان هما 2 و24. الأوليان هما 2 و17. العدد1 ليس أوليًا، و9 يقبل القسمة على3، و24 له أكثر من قاسمين موجبين.
التمرين 2
اكتب جميع القواسم الموجبة للعدد36.
إظهار التصحيح
نبحث في الأزواج: 1×36، 2×18، 3×12، 4×9، 6×6. القواسم هي 1،2،3،4،6،9،12،18،36.
التمرين 3
حلل 180 إلى جداء عوامل أولية.
إظهار التصحيح
180=18×10=(2×3²)×(2×5)=2²×3²×5. جميع العوامل المتبقية أولية.
التمرين 4
احسب PGCD وPPCM للعددين48 و60.
إظهار التصحيح
48=2⁴×3 و60=2²×3×5. إذن PGCD=2²×3=12 وPPCM=2⁴×3×5=240.
التمرين 5
هل 35 و64 أوليان فيما بينهما؟ وهل هما عددان أوليان؟
إظهار التصحيح
نعم، لأن 35=5×7 و64=2⁶ لا يشتركان في أي عامل أولي، فـPGCD يساوي1. لكنهما ليسا عددين أوليين.
التمرين 6
برهن أن مجموع عددين فرديين زوجي.
إظهار التصحيح
نكتب العددين 2p+1 و2q+1. مجموعهما 2p+1+2q+1=2(p+q+1)، وهو مضاعف لـ2، ومن ثم زوجي.