الترتيب في مجموعة الأعداد الحقيقية ℝ — الجذع المشترك العلمي

1. المقارنة باستعمال الفرق

لمقارنة عددين حقيقيين a وb ندرس إشارة الفرق a−b: إذا كان موجبًا فإن a أكبر من b، وإذا كان سالبًا فإن a أصغر من b، وإذا انعدم فهما متساويان. مثلًا 7/6−5/4=(14−15)/12=−1/12، لذلك 7/6<5/4. تسمح هذه الطريقة بالمقارنة الدقيقة دون الاعتماد على تقريب عشري قد يخفي فرقًا صغيرًا.

2. الترتيب والجمع والضرب

إضافة العدد نفسه إلى طرفي متراجحة تحفظ اتجاهها. إذا كان a≤b فإن a+c≤b+c. الضرب في عدد موجب يحفظ الاتجاه، أما الضرب في عدد سالب فيعكسه: من 2<5 نستنتج −6>−15 بعد الضرب في−3. الضرب في0 يعطي مساواة ولا يحفظ متراجحة صارمة. لا نضرب في عبارة مجهولة الإشارة دون فصل الحالات أو تحديد إشارتها.

3. المقلوب والمربع والجذر

إذا كان 0<a≤b فإن 1/b≤1/a؛ فالمقلوب يعكس الترتيب بين عددين موجبين. تنطبق قاعدة الانعكاس كذلك على عددين سالبين، لكن لا يجوز تعميمها على عددين مختلفي الإشارة. التربيع يحفظ الترتيب بين عددين غير سالبين، ويعكسه بين عددين غير موجبين. مثال: −5<−2 لكن 25>4. الجذر التربيعي يحفظ الترتيب على الأعداد غير السالبة.

4. المجالات والتقاطع والاتحاد

الكتابة x∈[a;b] تعني a≤x≤b، بينما x∈]a;b[ تعني a<x<b. القوس المغلق يضم الحد والمفتوح يستبعده، واللانهاية ليست عددًا فنضع بجانبها قوسًا مفتوحًا دائمًا. التقاطع ∩ يضم العناصر المشتركة، والاتحاد ∪ يضم العناصر التي تنتمي إلى أحد المجالين على الأقل. مثلًا [1;5]∩[3;7]=[3;5] و[1;5]∪[3;7]=[1;7].

5. القيمة المطلقة والمسافة

القيمة المطلقة |x| هي المسافة بين x و0 على مستقيم مدرج، لذلك لا تكون سالبة. إذا كان x موجبًا أو صفرًا فإن |x|=x، وإذا كان سالبًا فإن |x|=−x. المسافة بين a وb هي |a−b|. عندما r≥0، تكافئ |x−c|≤r التأطير c−r≤x≤c+r. أما |x−c|≥r فتعني x≤c−r أو x≥c+r.

6. التأطير والقيم المقربة

إذا كان a≤x≤b وc≤y≤d فإن a+c≤x+y≤b+d وa−d≤x−y≤b−c. لا نطرح الحدين الأدنى معًا للحصول على حد أدنى للفرق. للجداء نراعي الإشارات؛ إذا كانت الحدود كلها غير سالبة جاز ضرب الحدود المتناظرة. مركز التأطير هو m=(a+b)/2 ونصف سعته r=(b−a)/2، ومنه |x−m|≤r. سعة المجال نفسها هي b−a.

خطاطة تلخيصية

مثال محلول خطوة بخطوة

6 تمارين مصححة

حاول الحل أولًا، ثم افتح التصحيح للمقارنة.

التمرين 1

قارن5/6 و7/9 باستعمال الفرق.

التمرين 2

حل المتراجحة −3x+2≤11.

التمرين 3

إذا كان−4≤x≤−2، فأطرx².

التمرين 4

احسب تقاطع ]−2;4] و[1;6[.

التمرين 5

حل |x−3|≤2.

التمرين 6

أعط قيمة مقربة لـx ودقة لها إذا كان1.41≤x≤1.42.