الجذع المشترك العلمي · الرياضيات · شرح بالعربية
في درس الإسقاط في المستوى للجذع المشترك العلمي ننشئ صورة نقطة على مستقيم وفق اتجاه معين، ونميز الإسقاط الموازي من الإسقاط المتعامد. نستعمل خاصية الحفاظ على النسب والمنتصف، مع الانتباه إلى أن الإسقاط لا يحافظ عمومًا على الأطوال والزوايا.
1. تعريف الإسقاط الموازي
نختار مستقيمًا Δ نسميه مستقيم الإسقاط، واتجاهًا يمثله مستقيم d غير موازٍ لـΔ. صورة نقطة M هي نقطة التقاطع M′ بين Δ والمستقيم المار من M والموازي لـd. عدم توازي d وΔ يضمن تقاطعًا وحيدًا. إذا كانت M على Δ فصورتها هي نفسها. لا نختار لكل نقطة اتجاهًا جديدًا؛ جميع مستقيمات الإسقاط متوازية مع الاتجاه المحدد نفسه.
2. الإسقاط المتعامد
الإسقاط المتعامد حالة خاصة يكون فيها اتجاه الإسقاط عموديًا على مستقيم Δ. لإنشاء M′ نرسم من M عمودًا على Δ؛ قدم العمود هو المسقط. إذا كان M خارج Δ فإن طول MM′ هو المسافة من M إلى المستقيم. عند الإسقاط الموازي المائل لا تمثل المسافة من M إلى مسقطها بالضرورة أقصر مسافة إلى Δ.
3. صور نقط مستقيم وقطعة
كل الصور تقع على مستقيم الإسقاط Δ. إذا كان مستقيم (AB) موازيًا لاتجاه الإسقاط، فإن جميع نقطه لها الصورة نفسها؛ وقد تنكمش قطعة كاملة إلى نقطة واحدة. أما إذا لم يكن موازيًا للاتجاه وكانت A وB مختلفتين فإن A′ وB′ مختلفتان، وصورة القطعة [AB] هي القطعة [A′B′]. لا نستنتج من استقامية الصور وحدها استقامية النقط الأصلية، لأن صور جميع نقط المستوى تقع على Δ أصلًا.
4. الحفاظ على النسب الجبرية
إذا كانت A وB وC مستقيمية وتحقق AC⃗=kAB⃗، فإن صورها بالإسقاط نفسه تحقق A′C′⃗=kA′B′⃗. نحافظ على المعامل k، بما فيه إشارته. إذا كان A′≠B′ يمكن تفسير ذلك كنسبة جبرية على مستقيم الصور. أما إذا انطبقت الصور فلا نقسم على طول منعدم، مع بقاء العلاقة المتجهية صحيحة. لا تعني الخاصية الحفاظ على طول كل قطعة.
5. الحفاظ على المنتصف
إذا كانت I منتصف [AB] فإن AI⃗=(1/2)AB⃗، ومن خاصية الإسقاط A′I′⃗=(1/2)A′B′⃗. إذن I′ منتصف [A′B′]، أو هي النقطة المشتركة نفسها إذا انطبقت A′ وB′. يمكن استعمال هذا لإنشاء منتصف أو نقله إلى مستقيم آخر دون قياس الأطوال. لكن لا نعمم الحفاظ على النسب إلى أطوال قطعتين في اتجاهين مختلفين دون شروط إضافية.
6. ما الذي لا يحافظ عليه الإسقاط؟
لا يحافظ الإسقاط عمومًا على الأطوال أو الزوايا أو المساحات؛ مثلث غير منبسط قد تصبح صوره كلها على مستقيم واحد. في الإسقاط المتعامد لا يزيد طول صورة قطعة عن طولها الأصلي، وقد يصبح صفرًا إذا كانت القطعة عمودية على Δ. مثال في معلم متعامد: المسقط على محور الأفاصيل يحول النقطة M(x;y) إلى M′(x;0). أما الإسقاط على المحور نفسه باتجاه مائل فلا نستعمل هذه الصيغة تلقائيًا.
خطاطة تلخيصية
M
MM′ ⟂ Δ
رسم لحالة الإسقاط المتعامد.مثال محلول خطوة بخطوة
6 تمارين مصححة
حاول الحل أولًا، ثم افتح التصحيح للمقارنة.
التمرين 1
لماذا لا نختار اتجاه الإسقاط موازيًا لمستقيم الإسقاط؟
إظهار التصحيح
لأن المستقيم المار من نقطة خارج Δ والموازي لذلك الاتجاه لن يقطع Δ، فلا نحصل على صورة لكل نقطة.
التمرين 2
M تنتمي إلى مستقيم الإسقاط Δ. ما صورتها؟
إظهار التصحيح
صورتها هي M نفسها، لأن المستقيم المار منها وفق اتجاه الإسقاط يقطع Δ عندها.
التمرين 3
قطعة [AB] موازية لاتجاه الإسقاط. ماذا يحدث لصورتها؟
إظهار التصحيح
تنطبق صورتا A وB، وتنكمش صورة القطعة إلى نقطة واحدة؛ جميع مستقيمات الإسقاط الخاصة بنقط القطعة هي المستقيم نفسه.
التمرين 4
I منتصف [AB] وصورتا الطرفين تحققان A′B′=10 cm. احسب A′I′.
إظهار التصحيح
الإسقاط يحافظ على المنتصف، لذلك A′I′=10/2=5 cm.
التمرين 5
AC⃗=−2AB⃗ وصور النقط تحقق A′B′=3 cm. حدد طول A′C′ ومنحاه.
إظهار التصحيح
A′C′⃗=−2A′B′⃗. الطول 6 cm والمنحى معاكس لمنحى A′ نحو B′، فتقع A′ بين C′ وB′.
التمرين 6
في معلم متعامد، أعط المسقطين المتعامدين لـM(3;4) على محور الأفاصيل ومحور الأراتيب.
إظهار التصحيح
على محور الأفاصيل الصورة (3;0)، وعلى محور الأراتيب (0;4). المسافتان إلى المحورين 4 و3 على الترتيب بوحدة المعلم.