الجذع المشترك العلمي · الرياضيات · شرح بالعربية
يتناول درس الحدوديات للجذع المشترك العلمي كتابة الحدودية وتحديد درجتها، والعمليات عليها، وحساب جذورها وتعميلها. سنربط بين الجذر والعامل وباقي القسمة من خلال أمثلة وتمارين مصححة، مع الانتباه إلى الإشارات وعدم إهمال أي حل.
1. تعريف الحدودية ودرجتها
الحدودية في المتغير x مجموع منتهٍ من حدود من الشكل aₖxᵏ، حيث المعاملات أعداد حقيقية والأسس أعداد صحيحة طبيعية. بعد الاختزال، درجة الحدودية غير المنعدمة هي أكبر أس له معامل غير منعدم. مثلًا P(x)=3x³−2x+5 درجتها 3، ومعامل x² هو 0. حدودية ثابتة غير منعدمة مثل 7 درجتها 0، أما الحدودية المنعدمة فلا ننسب إليها درجة طبيعية. العبارتان 1/x و√x ليستا حدوديتين في x.
2. الاختزال والتساوي
نجمع الحدود التي لها الأس نفسه ثم نرتبها، عادة بحسب القوى المتناقصة. مثلًا 2x³+3x−x³+4−5x=x³−2x+4. تتساوى حدوديتان عندما تتساوى معاملات القوى المتناظرة في كتابتيهما المختزلتين. تساوي قيمتيهما عند عدد واحد لا يكفي لإثبات تساويهما. إذا كان P(x)=(m−2)x²+3x+1 فدرجتها 2 عندما m≠2، وتنخفض إلى 1 عندما m=2.
3. الجمع والطرح والضرب
في الجمع نجمع معاملات الحدود المتشابهة. وفي الطرح نغير إشارة كل حد داخل القوس المطروح. إذا كان P=x²+2x−1 وQ=x−3 فإن P−Q=x²+x+2. في الضرب نستعمل التوزيع، مثل (x+2)(x−3)=x²−x−6. درجة جداء حدوديتين غير منعدمتين هي مجموع درجتيهما؛ أما درجة المجموع فقد تنخفض عند انعدام الحدود الأعلى، مثل (x²+x)+(−x²+1)=x+1.
4. صورة عدد وجذر حدودية
لحساب P(a) نعوض x بالعدد a في كل الحدود، مع وضع العدد السالب بين قوسين. يكون a جذرًا للحدودية P إذا وفقط إذا P(a)=0. مثال: P(x)=x²−5x+6؛ نجد P(2)=4−10+6=0 وP(3)=9−15+6=0، لذلك 2 و3 جذران. أما P(1)=2 فلا يساوي صفرًا، وبالتالي 1 ليس جذرًا.
5. التعميل باستعمال جذر
يكون العدد a جذرًا لـP إذا وفقط إذا أمكن كتابة P(x)=(x−a)Q(x) حيث Q حدودية. نبحث أولًا عن عامل مشترك أو متطابقة هامة، ثم نتحقق من الجذر المحتمل. مثلًا x³−4x=x(x²−4)=x(x−2)(x+2). لحل معادلة هذا الجداء نستعمل أن الجداء ينعدم إذا انعدم أحد عوامله: الجذور هي 0 و2 و−2. لا نقسم مباشرة على x لأن ذلك قد يفقدنا الحل 0.
6. القسمة الإقليدية وباقي القسمة
لكل حدوديتين A وB حيث B غير منعدمة، توجد حدوديتان وحيدتان Q وR تحققان A=BQ+R مع R منعدمة أو درجتها أصغر من درجة B. نقسم الحد الأعلى في المقسوم على الحد الأعلى في القاسم، ثم نضرب ونطرح ونكرر حتى تتحقق قاعدة الدرجة. عند القسمة على x−a يكون الباقي ثابتًا r ويساوي A(a). مثلًا x²+3x+4=(x+1)(x+2)+2. نراجع القسمة بإعادة النشر؛ فهي قسمة تامة فقط عندما يكون الباقي 0.
خطاطة تلخيصية
مثال محلول خطوة بخطوة
6 تمارين مصححة
حاول الحل أولًا، ثم افتح التصحيح للمقارنة.
التمرين 1
حدد درجة ومعامل الحد الأعلى في 4x²−x⁴+7.
إظهار التصحيح
نرتب: −x⁴+4x²+7. الدرجة 4 ومعامل الحد الأعلى −1.
التمرين 2
اختزل (3x²−2x+1)−(x²+4x−5).
إظهار التصحيح
نوزع إشارة الطرح: 3x²−2x+1−x²−4x+5=2x²−6x+6.
التمرين 3
إذا كان P(x)=x²+3x−4، فهل −2 جذر؟
إظهار التصحيح
P(−2)=(−2)²+3(−2)−4=4−6−4=−6. القيمة غير منعدمة، لذلك −2 ليس جذرًا.
التمرين 4
عمل x²−9 وحدد جذورها.
إظهار التصحيح
فرق مربعين: x²−9=(x−3)(x+3). الجذور 3 و−3.
التمرين 5
احسب باقي قسمة 2x³−x+1 على x−2 دون إنجاز القسمة.
إظهار التصحيح
الباقي يساوي P(2)=2×8−2+1=15. بما أنه غير منعدم، فالعدد 2 ليس جذرًا.
التمرين 6
حدد خارج وباقي قسمة x²+3x+4 على x+1 وتحقق.
إظهار التصحيح
الخارج x+2 والباقي 2؛ لأن (x+1)(x+2)+2=x²+3x+4. درجة الباقي 0 أصغر من درجة القاسم 1.