الموشور القائم والأسطوانة القائمة: حساب حجم الموشور والأسطوانة ومساحتهما الجانبية والكلية.
1. الفهم والقواعد الأساسية
الموشور القائم مجسم قاعدتاه مضلعان متقايسان ومتوازيان، وأوجهه الجانبية مستطيلات. ارتفاعه هو المسافة العمودية بين القاعدتين. حجمه يساوي مساحة قاعدة مضروبة في الارتفاع: V = B×h.
مساحته الجانبية تساوي محيط القاعدة مضروبًا في الارتفاع: Sₗ = P×h. مساحته الكلية تساوي المساحة الجانبية زائد مساحتي القاعدتين: Sₜ = P×h+2B.
الأسطوانة القائمة قاعدتاها قرصان متقايسان ومتوازيان. إذا كان نصف القطر r والارتفاع h، فإن V = πr²h والمساحة الجانبية Sₗ = 2πrh، والمساحة الكلية Sₜ = 2πrh+2πr². وعند بسط السطح الجانبي نحصل على مستطيل أحد بعديه محيط القاعدة.
2. أمثلة محلولة خطوة بخطوة
مثال 1
موشور قاعدته مثلث قائم ضلعاه القائمان 3 cm و4 cm ووتره 5 cm، وارتفاع الموشور 10 cm. مساحة القاعدة B = 3×4÷2 = 6 cm²، والحجم V = 6×10 = 60 cm³. محيط القاعدة 12 cm، فالمساحة الجانبية 120 cm² والكلية 132 cm².
مثال 2
أسطوانة نصف قطرها 2 cm وارتفاعها 5 cm: الحجم 20π cm³، والمساحة الجانبية 20π cm²، والكلية 28π cm². تساوي العددين في هذا المثال لا يعني أن الحجم والمساحة المقدار نفسه.
3. طريقة حل التمارين
- حدد شكل القاعدة واحسب مساحتها ومحيطها بالقوانين المناسبة.
- ميز ارتفاع المجسم من أبعاد القاعدة.
- اختر الحجم أو المساحة المطلوبة ووحد الوحدات قبل التعويض.
4. أخطاء شائعة
مساحة القاعدة ليست محيطها. وارتفاع المثلث الذي يشكل قاعدة الموشور قد يختلف عن ارتفاع الموشور نفسه. الحجم يقاس بوحدة مكعبة، والمساحة بوحدة مربعة.
5. تمارين مع التصحيح
اكتب محاولتك أولًا، ثم افتح التصحيح وقارن خطوات الحل، لا النتيجة وحدها.
1. موشور مساحة قاعدته 15 cm² وارتفاعه 8 cm. احسب الحجم.
إظهار التصحيح
V = 15×8 = 120 cm³.
2. أسطوانة نصف قطرها 3 cm وارتفاعها 4 cm. احسب حجمها بدلالة π.
إظهار التصحيح
V = π×3²×4 = 36π cm³.
3. محيط قاعدة موشور 18 cm وارتفاعه 5 cm. احسب مساحته الجانبية.
إظهار التصحيح
Sₗ = 18×5 = 90 cm².